Hipotesis kesetaraan

Misalkan adalah sampel acak sederhana dari distribusi Normal . $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

Saya tertarik melakukan tes hipotesis berikut: untuk konstanta yang diberikan .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

Saya berpikir untuk melakukan dua satu sisi -tests (TOST) dengan cara yang analog dengan biasa situasi pengujian bioekivalensi, di mana nol dan sebagai gantinya, tetapi saya tidak tahu apakah ini masuk akal atau benar. $t$ $|\mu| \ge c$

Ide saya adalah melakukan tes satu sisi dan dan tolak hipotesis nol global jika salah satu dari nilai lebih kecil dari tingkat signifikansi .

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

Terima kasih sebelumnya!

EDIT:

Saya telah berpikir sebentar tentang ini, dan saya pikir pendekatan yang saya usulkan tidak memiliki tingkat signifikansi . $\alpha$

Misalkan nilai sebenarnya dari adalah dan diketahui. $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

Peluang untuk menolak nol dalam tes pertama adalah mana jika cdf standar dari distribusi Normal, dan adalah nilai sedemikian rupa sehingga .

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Jika , . Kemudian, jika , . Atau, jika , . $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

Peluang untuk menolak nol dalam tes kedua adalah

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

Sekali lagi, jika kita memiliki . Demikian pula, jika , . Akhirnya, jika , . $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Karena daerah penolakan dari dua tes terpisah, probabilitas penolakan adalah: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

Jadi, jika , adalah batas atas dari kemungkinan menolak hipotesis nol (global). Karena itu, pendekatan yang saya usulkan terlalu liberal. $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

Jika saya tidak salah, kita dapat mencapai tingkat signifikansi dengan melakukan dua tes yang sama dan menolak nol jika -value salah satunya kurang dari . Argumen serupa berlaku ketika varians tidak diketahui dan kita perlu menerapkan uji- . $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
sumber

Hasil edit ada di jalur yang benar :-).

— whuber

Pertanyaan yang sangat menarik !!

Anda menggunakan konsekuensi logis, yaitu, kondisi persyaratan. Kondisi pengikatan ini membentuk dasar dari logika klasik, ia menjamin kesimpulan atau pengurangan hasil dari suatu premis.

Alasan di balik proposal Anda adalah sebagai berikut:

Jika mensyaratkan , maka data yang diamati harus menarik lebih banyak bukti terhadap daripada . $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

Dalam hal hipotesis bantu Anda dan , kami memiliki , yaitu, mencakup dan juga mensyaratkan . Oleh karena itu, sesuai dengan kondisi persyaratan, kita harus mengamati lebih banyak bukti terhadap daripada atau . Kemudian, Anda menyimpulkan bahwa jika salah satu nilai-p yang dihitung di bawah atau cukup kecil, nilai-p yang dihitung di bawah akan lebih kecil lagi. $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

Namun, penalaran logis ini tidak valid untuk nilai-p, yaitu nilai-p tidak menghargai konsekuensi logis. Setiap nilai-p dibangun di bawah hipotesis nol spesifik, oleh karena itu, nilai-p untuk hipotesis nol yang berbeda dihitung berdasarkan metrik yang berbeda. Untuk alasan ini nilai-p tidak dapat menghormati penalaran logis atas ruang parameter (atau ruang hipotesis nol).

Contoh di mana nilai p melanggar kondisi entailment disajikan dalam Schervish (1996) dan Patriota (2013). The terakhir kertas menunjukkan contoh dari distribusi normal bivariat dan dari model regresi (lihat Contoh 1.1 dan 1.2 pada halaman 5 dan 6, masing-masing). Eran Raviv menyediakan algoritma dalam kode R untuk kasus bivariat. Pembelajaran dari contoh-contoh ini adalah: Anda harus menghitung nilai-p secara langsung untuk hipotesis nol bunga. Schervish (1996) memberikan rumus nilai-p untuk contoh Anda ketika dan , lihat Formula (2) di halaman 204. Jika Anda ingin menghitung nilai p, Anda harus mencukupi rumus itu untuk kasus Anda. $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) mengusulkan ukuran bukti baru untuk menguji hipotesis nol umum (komposit atau hipotesis nol sederhana) yang menghormati konsekuensi logis. Ukuran ini disebut nilai-s di kertas. Prosedurnya relatif sederhana untuk contoh Anda:

Temukan interval kepercayaan (1- ) untuk (yang asimptotik): , di mana adalah rata-rata sampel, adalah varians sampel , adalah kuantil dari distribusi normal standar dan adalah ukuran sampel. $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
Temukan nilai yang amplitudo minimal dan memiliki setidaknya satu elemen yang sama dengan (yaitu, batas ). Ini adalah -nilai. $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
Di satu sisi, jika , maka sampel yang diamati menguatkan dengan hipotesis nol ; jika -nilai cukup kecil maka Anda dapat menerima nol. Di sisi lain, jika , maka sampel yang diamati memberikan informasi terhadap Hipotesis nol ; jika -nilai cukup kecil maka Anda dapat menolak nol. Jika tidak, Anda tidak boleh menolak atau menerima nol. $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

Perhatikan bahwa, jika dan masing-masing nilai sangat kecil, ini berarti bahwa hipotesis alternatif sangat jauh dari nilai maksimum yang masuk akal, . Jika dan masing-masing nilai sangat kecil, ini berarti bahwa hipotesis nol sangat jauh dari nilai maksimum yang masuk akal, . Cobalah untuk menggambar gambar yang mewakili interval kepercayaan dan hipotesis nol yang menarik untuk lebih memahami kesimpulan. Untuk informasi lebih lanjut silakan baca makalah asli Patriota (2013). $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

Bagaimana menemukan ambang objektif untuk menerima atau menolak nol dengan menggunakan nilai- ini masih merupakan masalah terbuka. Pendekatan ini bagus karena kita sekarang dapat menerima hipotesis nol. Ini masuk akal setiap kali sampel yang diamati menguatkan dengan nol dan itu jauh dari alternatif. Dalam contoh Anda dapat dilihat untuk , , dan . Cukup sederhana untuk melihat bahwa kepadatan data sangat terkonsentrasi pada (sepuluh kali kesalahan standar). Untuk memiliki persimpangan yang tidak kosong dengan diperlukan 99900 kesalahan standar. Karena itu, cukup adil untuk menerima $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ dalam hal ini.

Referensi:

Patriota, AG (2013). Ukuran klasik bukti untuk hipotesis nol umum, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74-88

Schervish, MJ (1996). Nilai P: Apa yang mereka dan yang bukan, The American Statistician, 50, 203-206

— Alexandre Patriota
sumber