Persamaan yang benar untuk kovarians sampel tidak berat tertimbang

Saya sedang mencari persamaan yang tepat untuk menghitung kovarians sampel yang tidak bias tertimbang. Sumber-sumber internet sangat jarang pada tema ini dan mereka semua menggunakan persamaan yang berbeda.

Persamaan yang paling mungkin saya temukan adalah persamaan ini:

$q_{jk}=\frac{\sum_{i=1}^{N}w_i}{\left(\sum_{i=1}^{N}w_i\right)^2-\sum_{i=1}^{N}w_i^2} \sum_{i=1}^N w_i \left( x_{ij}-\bar{x}_j \right) \left( x_{ik}-\bar{x}_k \right) .$

Dari: https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_mean_and_sample_covariance#Weighted_samples

Tentu saja, Anda harus menghitung rata-rata sampel tertimbang (tidak bias) sebelumnya.

Namun, saya telah menemukan beberapa formula lain seperti:

$q_{jk}= \frac{1}{\sum_{i=1}^N w_i)-1}\sum_{i=1}^N w_i \left( x_{ij}-\bar{x}_j \right) \left( x_{ik}-\bar{x}_k \right) .$

Atau saya bahkan telah melihat beberapa kode sumber dan makalah akademis hanya menggunakan rumus kovarian standar tetapi dengan mean sampel tertimbang alih-alih sampel mean ...

Adakah yang bisa membantu saya dan menjelaskan?

/ EDIT: bobot saya hanyalah jumlah pengamatan untuk sampel dalam dataset, jadi weights.sum () = n

Menemukan solusi dalam buku 1972 (George R. Price, Ann. Hum. Genet., Lond, pp485-490, Perpanjangan matematika pemilihan kovarians, 1972) .

Biovaskuler sampel tertimbang bias:

$\Sigma=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}w_i}\sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^T\left(x_i - \mu^*\right)$

Dan kovarians sampel tertimbang yang diberikan dengan menerapkan koreksi Bessel:

$\Sigma=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}w_i - 1}\sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^T\left(x_i - \mu^*\right)$

Di mana adalah rata-rata sampel tertimbang (tidak bias):$\mu^*$

$\mathbf{\mu^*}=\frac{\sum_{i=1}^N w_i \mathbf{x}_i}{\sum_{i=1}^N w_i}$

Catatan Penting: ini hanya berfungsi jika bobotnya adalah "ulangi" -berat jenis, yang berarti bahwa setiap bobot mewakili jumlah kemunculan satu pengamatan, dan bahwa mana mewakili ukuran sampel nyata (jumlah total nyata sampel, akuntansi untuk bobot).$\sum_{i=1}^N w_i=N^*$$N^*$

Saya telah memperbarui artikel di Wikipedia, di mana Anda juga akan menemukan persamaan untuk varians sampel tertimbang yang tidak bias:

https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean#Weighted_sample_covariance

Catatan praktis: Saya menyarankan Anda untuk terlebih dahulu mengalikan kolom-demi-kolom dengan dan dan kemudian melakukan perkalian matriks dengan untuk membungkus sesuatu dan secara otomatis melakukan penjumlahan. Misalnya dalam Python Pandas / kode Numpy:$w_i$$\left(x_i - \mu^*\right)$$\left(x_i - \mu^*\right)$

import pandas as pd
import numpy as np
# X is the dataset, as a Pandas' DataFrame
mean = mean = np.ma.average(X, axis=0, weights=weights) # Computing the weighted sample mean (fast, efficient and precise)
mean = pd.Series(mean, index=list(X.keys())) # Convert to a Pandas' Series (it's just aesthetic and more ergonomic, no differenc in computed values)
xm = X-mean # xm = X diff to mean
xm = xm.fillna(0) # fill NaN with 0 (because anyway a variance of 0 is just void, but at least it keeps the other covariance's values computed correctly))
sigma2 = 1./(w.sum()-1) * xm.mul(w, axis=0).T.dot(xm); # Compute the unbiased weighted sample covariance

Melakukan beberapa pemeriksaan kewarasan menggunakan dataset non-tertimbang dan dataset tertimbang yang setara, dan berfungsi dengan benar.