Kondisi untuk keberadaan matriks informasi Fisher

Buku pelajaran yang berbeda mengutip kondisi yang berbeda untuk keberadaan matriks informasi Fisher. Beberapa kondisi seperti tercantum di bawah ini, masing-masing muncul dalam beberapa, tetapi tidak semua, definisi "matriks informasi Fisher".

1. Apakah ada standar, serangkaian kondisi minimal?
2. Dari 5 kondisi di bawah ini, mana yang bisa dilakukan?
3. Jika salah satu dari syarat-syarat itu dapat dihilangkan, mengapa menurut Anda itu termasuk pertama-tama?
4. Jika salah satu syarat tidak dapat dihilangkan, apakah itu berarti buku teks yang tidak menentukan itu memberikan definisi yang salah, atau setidaknya tidak lengkap,?

1. Zacks, Theory of Statistics Inference (1971), hal. 194.
   Matriks adalah positif pasti untuk semua . θ ∈ $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, kor. 2nd printing), Definisi 2.78, hlm. 111
   Himpunan adalah sama untuk semua . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Statistik Matematika (1998). hal. 147 secara terus menerus dapat dibedakan wrt .
   θ $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov, Statistik Matematika (1998). hal. 147 kontinu dan tidak dapat dibalik.
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, Statistik dan Model Ekonometrik, Vol I (1995). Definisi (a), hlm. 81-82 ada
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Sebagai perbandingan, berikut adalah daftar lengkap kondisi di Lehman & Cassella. Theory of Point Estimation (1998). hal. 124 :

1. $\Theta$ adalah interval terbuka (terbatas, tak terbatas, atau semi tak terbatas)
2. Himpunan adalah sama untuk semua . θ ∈ $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ ada dan terbatas.

Dan di sini adalah daftar lengkap kondisi di Barra, Notions fondamentales de statistique Mathematique (1971). Definisi 1, hal. 35 :

The skor didefinisikan untuk semua , masing-masing komponen adalah persegi terintegral dan memiliki terpisahkan . $\theta\in\Theta$$=0$

Sangat menarik untuk dicatat bahwa baik Lehman & Cassella maupun Barra tidak menetapkan bahwa dapat dibedakan berdasarkan tanda integral masing-masing , a kondisi yang terjadi di sebagian besar buku teks lain yang saya survei. $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Saya tidak memiliki akses ke semua referensi, tetapi saya ingin menunjukkan beberapa komentar tentang beberapa poin Anda:

• Borovkov, Statistik Matematika (1998). hal. 140 menyajikan asumsi lain, Kondisi (R), yang cukup kuat. Kondisi ini mengasumsikan bahwa . Kemudian, penulis pada dasarnya mengasumsikan bahwa setiap entri matriks informasi Fisher (FIM) didefinisikan dengan baik.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• Diferensialitas ganda dan pertukaran dari asumsi operator integral dan diferensial digunakan untuk menyimpulkan kesetaraan . Kesetaraan ini sering membantu, tetapi tidak sepenuhnya diperlukan.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• Sulit untuk menetapkan kondisi umum untuk keberadaan FIM tanpa membuang beberapa model yang FIM sebenarnya ada. Sebagai contoh, kondisi pembeda bukanlah kondisi yang diperlukan untuk keberadaan FIM. Contohnya adalah model eksponensial ganda atau Laplace. FIM yang sesuai didefinisikan dengan baik, tetapi kerapatan tidak dapat dibedakan dua kali lipat pada mode. Beberapa model lain yang dapat dibedakan dua memiliki FIM berperilaku buruk dan memerlukan beberapa kondisi tambahan (lihat makalah ini ).

Mungkin saja muncul dengan kondisi yang cukup umum, tetapi mungkin terlalu ketat. Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan FIM belum sepenuhnya dipelajari. Kemudian, jawaban untuk pertanyaan pertama Anda mungkin tidak sederhana.