Interval kepercayaan untuk produk dari dua parameter

Mari kita asumsikan kita memiliki dua parameter, dan . Kami juga memiliki dua penaksir kemungkinan maksimum dan dan dua interval kepercayaan untuk parameter ini. Apakah ada cara untuk membangun interval kepercayaan untuk ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— tamu
sumber

Anda dapat menggunakan metode Delta untuk menghitung kesalahan standar . Metode delta menyatakan bahwa perkiraan varians dari fungsi diberikan oleh: Perkiraan ekspektasi di sisi lain diberikan oleh: Jadi harapannya hanyalah fungsi. Fungsi Anda adalah: . Ekspektasi akan menjadi: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Untuk varians, kita memerlukan turunan parsial dari :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Menggunakan fungsi untuk varian di atas, kita mendapatkan:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$

Kesalahan standar kemudian hanya akan menjadi akar kuadrat dari ekspresi di atas. Setelah Anda mendapatkan kesalahan standar, langsung menghitung interval kepercayaan 95% untuk :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Untuk menghitung kesalahan standar , Anda memerlukan varians dari dan yang biasanya bisa Anda dapatkan oleh matriks varians-kovarians yang akan menjadi matriks 2x2 dalam kasus Anda karena Anda memiliki dua perkiraan. Elemen diagonal dalam matriks varians-kovarians adalah varian dan sedangkan elemen off-diagonal adalah kovarians dari dan (matriksnya simetris). Seperti @gung menyebutkan dalam komentar, matriks varians-kovarians dapat diekstraksi oleh sebagian besar perangkat lunak statistik. Terkadang, algoritma estimasi menyediakan $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Matriks Hessian (saya tidak akan membahas tentang itu di sini), dan matriks varians-kovarians dapat diperkirakan dengan kebalikan dari Hessian negatif (tetapi hanya jika Anda memaksimalkan log-likelihood!; Lihat posting ini ). Sekali lagi, lihat dokumentasi perangkat lunak statistik Anda dan / atau web tentang cara mengekstrak Hessian dan cara menghitung kebalikan dari matriks.

Atau, Anda bisa mendapatkan varian dan dari interval kepercayaan dengan cara berikut (ini berlaku untuk 95% -CI): . Untuk -CI, perkiraan kesalahan standar adalah: , di mana adalah kuantil dari distribusi normal standar (untuk , ). Kemudian, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Hal yang sama berlaku untuk varian . Kita perlu kovarians dari dan juga (lihat paragraf di atas). Jika dan independen, kovarians adalah nol dan kita dapat membatalkan istilah tersebut. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Makalah ini mungkin memberikan informasi tambahan.

— COOLSerdash
sumber

+1. Varians dari parameter & kovariansnya dapat ditemukan dengan memeriksa matriks varians-kovarians dari , yang dapat disediakan oleh sebagian besar perangkat lunak statistik. Misalnya, dalam R, ini ? Vcov ; & di SAS, ditambahkan sebagai opsi pada pernyataan model di REG PROC .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Reinstate Monica

@ Gung Pada titik kesedihan mungkin perlu menunjukkan (karena saya tahu itu membingungkan beberapa orang) bahwa itu benar-benar matriks varians-kovarians dari daripada (dan sebenarnya itu bahkan tidak benar-benar seperti itu) , karena standar deviasi harus diperkirakan dari sampel, jadi itu benar-benar matriks varians-kovarians yang diperkirakan ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish, dihukum keras. Lain kali saya akan mengatakan "estimasi varians-kovarians dari ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Reinstate Monica

Anda dapat mencoba membuat fungsi kemungkinan profil! dan buat interval kepercayaan dari situ.

— kjetil b halvorsen

Bukankah karena itu parameter?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

Saya menemukan persamaan berbeda untuk perhitungan varian produk.

Jika x dan y terdistribusi secara independen, varian produk relatif mudah: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Hasil ini juga menggeneralisasi untuk kasus yang melibatkan tiga atau lebih variabel (Goodman 1960). Sumber: Pengatur Pestisida (1980), lampiran F

Coolserdash: Komponen terakhir V (x) * V (y) tidak ada dalam persamaan Anda. Apakah buku yang dirujuk (Mengatur Pestisida) salah?

Juga, kedua persamaan itu mungkin tidak sempurna. " ... kami menunjukkan bahwa distribusi produk dari tiga variabel normal independen tidak normal ." ( Sumber ). Saya akan mengharapkan beberapa kecenderungan positif bahkan dalam produk dari dua variabel yang terdistribusi normal.

— Marek Čierny
sumber

Panjang CI / 2 / 1.96 = se, yaitu kesalahan standar A atau B
se ^ 2 = var, yaitu varian estimasi A atau B
Gunakan perkiraan A atau B sebagai sarana A atau B, yaitu E (A) atau E (B)
Ikuti halaman ini http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html untuk mendapatkan var (A * B), yaitu var (C)
Akar kuadrat dari var (C) adalah se dari C
(C - 1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C)) adalah 95% CI dari C

Perhatikan bahwa jika A dan B Anda berkorelasi, Anda juga perlu mempertimbangkan kovariansnya.

— Es kopi
sumber