Tes untuk independensi, ketika saya kehilangan satu bin dari kontingensi 2x2

Saya mencari bantuan merancang tes hipotesis untuk situasi berikut.

1. Saya memiliki sumber radioaktif yang sering mengeluarkan partikel.

2. Juga, saya memiliki dua pendeteksi partikel: pendeteksi partikel merah, dan pendeteksi partikel hijau. Setiap kali pendeteksi partikel merah mendeteksi partikel, ia akan memancarkan cahaya merah; membiarkan$R$ menunjukkan peristiwa bahwa partikel terdeteksi oleh detektor merah, dan $r$peristiwa pelengkap bahwa partikel tidak terdeteksi oleh detektor merah. Setiap kali pendeteksi partikel hijau mendeteksi partikel, ia akan berkedip lampu hijau; membiarkan$G$ menjadi peristiwa bahwa detektor hijau mendeteksi partikel, dan $g$itu tidak. Dengan demikian, setiap partikel yang dipancarkan jatuh ke dalam salah satu dari empat kategori:

   • terdeteksi oleh kedua detektor ($RG$),
   • terdeteksi oleh detektor merah tetapi bukan detektor hijau ($Rg$),
   • terdeteksi oleh detektor hijau tetapi bukan detektor merah ($rG$), atau
   • tidak terdeteksi oleh kedua detektor ($rg$).

3. Setiap kali sebuah partikel dipancarkan, detektor merah memiliki beberapa kemungkinan mendeteksi partikel, dan detektor hijau memiliki beberapa kemungkinan mendeteksi partikel tersebut. (Mereka tidak akan pernah memicu deteksi palsu ketika tidak ada partikel.) Saya tahu bahwa masing-masing partikel ditangani secara identik dan terpisah dari semua partikel lainnya, tetapi saya tidak tahu apakah kedua detektor itu independen satu sama lain. Mungkin saja mereka independen (yaitu,$\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$), atau mereka berkorelasi (yaitu, ); Saya tidak tahu yang mana masalahnya, apriori.$\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$

4. Saya menyimpan hitungan jumlah deteksi- (yaitu, berapa kali ketika kedua detektor mendeteksi sesuatu), jumlah deteksi- (yaitu, berapa kali ketika detektor merah mendeteksi sesuatu, tetapi bukan yang hijau), dan jumlah -deteksi. Sayangnya, saya tidak punya cara untuk mengukur jumlah situasi, karena partikel-partikel itu tidak terdeteksi oleh salah satu detektor. Pada akhir percobaan, saya memiliki tiga bilangan bulat non-negatif, yang mewakili jumlah ini.$RG$$Rg$$rG$$rg$

Saya ingin menguji hipotesis bahwa dua detektor yang independen, yaitu, bahwa acara independen dari acara . Adakah yang bisa membantu menyarankan cara untuk menghitung nilai dari hipotesis ini, mengingat 3 angka dari eksperimen seperti itu?$H$$R$$G$$p$

Saya akan sangat puas dengan algoritma komputer / prosedur untuk menghitung nilai- . Saya tidak perlu formula sederhana; sesuatu yang bisa dihitung oleh komputer akan cukup.$p$

Berikut cara lain untuk melihatnya. Kita bisa membentuk tabel kontingensi 2x2, seperti yang ini:

     G | g
  ---------
R | 17 22
r | 12?

rekaman yang kami lihat 17 -events, 22 -events, dan sebagainya. Sayangnya, sel kanan bawah kosong, karena kita tidak tahu berapa banyak partikel- yang dipancarkan. Jika kita memiliki hitungan untuk keempat sel, mungkin kita bisa menggunakan uji Fisher yang tepat, tetapi tidak. Juga, kami tidak diberi atau (Saya kira itu adalah parameter gangguan) atau jumlah total partikel yang dipancarkan.$RG$$Rg$$rg$$\Pr[R]$$\Pr[G]$

Ada saran?

Jika jumlah yang hilang mendekati 22 * ​​12/17, tabel akan terlihat independen. Ini konsisten dengan pengamatan Anda. Jika jumlah yang hilang jauh dari nilai ini, tabel akan menunjukkan kurangnya ketergantungan yang kuat. Ini juga konsisten dengan pengamatan Anda. Jelas bahwa data Anda tidak dapat membedakan kedua kasus: independensi atau kekurangannya tidak dapat diidentifikasikan . Oleh karena itu, satu-satunya harapan Anda adalah untuk mengadopsi asumsi tambahan, seperti sebelumnya untuk jumlah yang hilang (setara, untuk jumlah total partikel yang dipancarkan).