Menghasilkan pasangan angka acak yang terdistribusi dan dikorelasikan secara seragam

Saya ingin menghasilkan pasangan angka acak dengan korelasi tertentu. Namun, pendekatan yang biasa menggunakan kombinasi linear dari dua variabel normal tidak valid di sini, karena kombinasi linear dari variabel seragam tidak lagi menjadi variabel yang terdistribusi secara seragam. Saya perlu dua variabel untuk menjadi seragam.

Adakah ide tentang bagaimana menghasilkan pasangan variabel seragam dengan korelasi yang diberikan?

Saya tidak mengetahui metode universal untuk menghasilkan variabel acak berkorelasi dengan distribusi marginal yang diberikan. Jadi, saya akan mengusulkan metode ad hoc untuk menghasilkan pasangan variabel acak berdistribusi seragam dengan korelasi (Pearson) yang diberikan. Tanpa kehilangan keumuman, saya berasumsi bahwa distribusi marginal yang diinginkan adalah seragam standar (yaitu, dukungannya adalah ).$[0, 1]$

Pendekatan yang diusulkan mengandalkan berikut:
a) Untuk variabel acak seragam standar dan U 2 dengan fungsi distribusi masing-masing F 1 dan F 2 , kita memiliki F i ( U i ) = U i , untuk i = 1 , 2 . Jadi, menurut definisi Spearman rho adalah ρ S ( U 1 , U 2 ) = c o r r ( $U_1$$U_2$$F_1$$F_2$$F_i(U_i) = U_i$$i = 1, 2$ Jadi, koefisien korelasi Spearman dan Pearson sama (versi sampel mungkin berbeda).

b) Jika adalah variabel acak dengan margin kontinu dan Gaussian copula dengan koefisien korelasi (Pearson) ρ , maka Spearman rho adalah ρ S ( X 1 , X 2 ) = $X_1, X_2$$\rho$ Ini membuatnya mudah untuk menghasilkan variabel acak yang memiliki nilai Spearman rho yang diinginkan.

Pendekatannya adalah untuk menghasilkan data dari Gaussian copula dengan koefisien korelasi yang sesuai sehingga Spearman rho sesuai dengan korelasi yang diinginkan untuk variabel acak seragam.$\rho$

Algoritma simulasi
Misalkan menunjukkan tingkat korelasi yang diinginkan, dan n jumlah pasangan yang akan dihasilkan. Algoritme adalah:$r$$n$

1. Hitung .$\rho = 2\sin (r \pi/6)$
2. Hasilkan sepasang variabel acak dari Gaussian copula (misalnya, dengan pendekatan ini )
3. Ulangi langkah 2 kali.$n$

Contoh
Kode berikut adalah contoh implementasi algoritma ini menggunakan R dengan korelasi target dan$r = 0.6$ pasangan.$n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

Pada gambar di bawah, plot diagonal menunjukkan histogram variabel dan U 2 , dan plot off-diagonal menunjukkan plot hamburan U $U_1$$U_2$$U_1$ dan . $U_2$

Dengan konstuksi, variabel acak memiliki margin yang seragam dan koefisien korelasi (mendekati) $r$ . Tetapi karena efek pengambilan sampel, koefisien korelasi dari data yang disimulasikan tidak persis sama dengan .$r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

Perhatikan bahwa gen.gauss.copfungsi harus bekerja dengan lebih dari dua variabel hanya dengan menentukan matriks korelasi yang lebih besar.

Studi
simulasi Studi simulasi berikut diulang untuk korelasi target menunjukkan bahwa distribusi koefisien korelasi menyatu dengan korelasi yang diinginkan ketika ukuran sampel n meningkat.$r= -0.5, 0.1, 0.6$$n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

$u_1$$U(0,1)$$u_1$$w_1$$U(0,1)$$I = 1$$u_1$$w_2$$U(0,1)$$I = 0$$u_1$$U(0,1)$$u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

$I(I-1)=0$$I^2=I$$(1-I)^2=(1-I)$$I$ selalu baik $0$ atau $1$. Perhatikan juga itu$I$ tidak tergantung pada $w$, Yang juga independen satu sama lain. Begitu:

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

From the fact that $V(w_1)=1/12$, we get $E(w_1^2)=1/3$, so $E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$, that is: $cov(u_1 u_2) = p/12$. Since $V(u_1)=V(u_2)=1/12$, we get finally that $cor(u_1, u_2) = p$.

Here is one easy method for positive correlation: Let $(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$, where $w_1, w_2,$ and $w_3$ are independent $U(0,1)$ and $I$ is Bernoulli($p$). $u_1$ and $u_2$ will then have $U(0,1)$ distributions with correlation $p$. This extends immediately to $k$-tuples of uniforms with compound symmetric variance matrix.

If you want pairs with negative correlation, use $(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$, and the correlation will be $-p$.