Bayesian inferensi untuk distribusi multinomial dengan pengetahuan awal asimetris?

Misalkan saya akan mendapatkan beberapa sampel dari distribusi binomial. Salah satu cara untuk memodelkan pengetahuan saya sebelumnya adalah dengan distribusi Beta dengan parameter dan . Seperti yang saya pahami, ini sama dengan melihat "kepala" kali dalam uji coba . Dengan demikian, jalan pintas yang bagus untuk melakukan inferensi Bayesian yang lengkap adalah dengan menggunakan sebagai rata-rata baru saya untuk probabilitas "head" setelah melihat head dalam percobaan . $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta$ $\frac{h+\alpha}{n+\alpha+\beta}$ $h$ $n$

Sekarang anggaplah saya memiliki lebih dari dua negara, jadi saya akan mendapatkan beberapa sampel dari distribusi multinomial. Misalkan saya ingin menggunakan distribusi Dirichlet dengan parameter $\alpha$ sebagai sebelumnya. Sekali lagi sebagai jalan pintas, saya dapat menganggap ini sebagai pengetahuan sebelumnya tentang kemungkinan kejadian $i$ setara dengan $\frac{\alpha_i}{\sum \alpha_j}$ , dan jika saya menyaksikan acara $i$ $h$ kali dalam $n$ percobaan posterior saya untuk $i$ menjadi $\frac{h + \alpha_i}{n + \sum \alpha_j}$ .

Sekarang dalam kasus binomial, itu berhasil bahwa pengetahuan sebelumnya tentang "kepala" yang terjadi kali dalam percobaan setara dengan "ekor" yang terjadi kali dalam percobaan . Secara logis saya tidak percaya saya bisa memiliki pengetahuan yang lebih kuat tentang "kepala" kemungkinan daripada "ekor". Ini menjadi lebih menarik dengan lebih dari dua hasil. Jika saya mengatakan dadu 6 sisi, saya bisa membayangkan pengetahuan saya sebelumnya tentang sisi "1" setara dengan 10 yang dalam 50 percobaan dan pengetahuan awal saya tentang sisi "2" setara dengan 15 dua dalam 100 percobaan. $\alpha$ $\alpha + \beta$ $\beta$ $\alpha + \beta$

Jadi setelah semua pengantar itu, pertanyaan saya adalah bagaimana saya bisa memodelkan pengetahuan awal asimetris seperti dalam kasus multinomial? Sepertinya jika saya tidak hati-hati saya dapat dengan mudah mendapatkan hasil yang tidak logis karena probabilitas total / kemungkinan tidak menjumlahkan ke 1. Apakah ada beberapa cara saya masih dapat menggunakan pintasan Dirichlet, atau apakah saya perlu mengorbankan ini sama sekali dan menggunakan beberapa distribusi sebelumnya lainnya seluruhnya?

Mohon maafkan kebingungan yang disebabkan oleh potensi pelanggaran dalam notasi atau terminologi di atas.

— Michael McGowan
sumber

If I have say a 6-sided die, I can imagine my prior knowledge of side "1" being equivalent to 10 ones in 50 trials and my prior knowledge of side "2" as being equivalent to 15 twos in 100 trials.

Apakah ada alasan khusus mengapa Anda tidak ingin menyatukan 'ukuran sampel yang setara' untuk " " dan " " (yaitu dan ) dengan menggunakan kelipatan yang paling tidak umum? Dalam hal ini dan .

1

$1$

2

$2$

50

$50$

100

$100$

α_{1} = 20 / 100

$\alpha_1 = 20/100$

α_{2} = 15 / 100

$\alpha_2 = 15/100$

— Zhubarb

Ini memungkinkan Anda mewakili prior asimetris sambil memastikan

\sum_{i = 1}^{i = 6} α_{i} = 1

$\sum_{i=1}^{i=6}\alpha_i = 1$

— Zhubarb

Akhirnya, makalah ini oleh Kemp at al. sangat relevan dan menyenangkan untuk dibaca.

— Zhubarb

@Berkan saya belum membaca makalah (terima kasih!), Tapi alasan saya tidak menyatukan ukuran sampel adalah karena 20/100 tidak sama dengan 10/50, dan fakta itu sangat penting bagi alasan pertanyaan ini diajukan.

— Michael McGowan

Karena Anda lebih percaya diri pada yang pertama karena equiv yang lebih tinggi. ukuran sampel?

— Zhubarb

Anda telah membingkai pertanyaan Anda dengan sangat baik.

Saya pikir apa yang Anda cari di sini adalah kasus pemodelan hierarkis. Dan Anda mungkin ingin memodelkan beberapa lapisan hierarki (saat ini Anda hanya berbicara tentang prior). Memiliki lapisan lain dari hiper-prior untuk parameter-hiper memungkinkan Anda memodelkan variabilitas tambahan dalam parameter-hiper (karena Anda khawatir tentang masalah variabilitas parameter-hiper). Ini juga membuat pemodelan Anda fleksibel dan kuat (mungkin lebih lambat).

Khususnya dalam kasus Anda, Anda dapat mengambil manfaat dengan memiliki prior untuk parameter distribusi Dirichlet (Beta adalah kasus khusus). Posting ini oleh Gelman berbicara tentang bagaimana memaksakan prior pada parameter distribusi Dirichlet. Dia juga mengutip makalahnya dalam jurnal toksikologi.

— suncoolsu
sumber

Saya bisa lebih spesifik pada pemodelan, tetapi saya tidak ingin menebak di sini. Jika Anda memilih untuk mengubah pertanyaan Anda, saya akan menambahkan lebih banyak detail.

— suncoolsu