Menjelaskan filter Kalman dalam model ruang negara

Apa langkah-langkah yang terlibat dalam penggunaan filter Kalman dalam model ruang negara?

Saya telah melihat beberapa formulasi berbeda , tetapi saya tidak yakin tentang detailnya. Misalnya, Cowpertwait mulai dengan set persamaan ini:

θt=Gtθt-1+w

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

di mana , dan , adalah perkiraan kami yang tidak diketahui dan adalah nilai yang diamati.w t ∼ N ( 0 , W t ) θ t y $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait mendefinisikan distribusi yang terlibat (sebelum, kemungkinan dan distribusi posterior, masing-masing):

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

dengan

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

Omong-omong, berarti distribusi mengingat nilai yang diamati hingga . Notasi yang lebih sederhana adalah tapi saya akan tetap menggunakan notasi Cowpertwait. θ t y t - 1 θ t | t - $\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

Penulis juga menjelaskan prediksi untuk dalam hal harapan:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Sejauh yang saya mengerti, ini adalah langkah-langkahnya, tolong beri tahu saya jika ada kesalahan atau ketidaktepatan:

1. Kita mulai dengan , , yaitu, kami menebak nilai untuk estimasi kami . C 0 θ $m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Kami memperkirakan nilai untuk . Itu harus sama dengan yaitu . dikenal sejak . f 1$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$a1a1=G1m$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Setelah kami memiliki prediksi kami untuk , kami menghitung kesalahan . e 1 = y 1 - f $y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. Kesalahan digunakan untuk menghitung distribusi posterior yang membutuhkan dan . diberikan sebagai jumlah tertimbang dari mean sebelumnya dan kesalahan: . θ 1 | D 1 m 1 C 1 m 1 a 1 + A 1 e $e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. Dalam iterasi berikut, kita mulai dengan memprediksi seperti pada langkah 1. Dalam kasus ini, . Karena dan adalah harapan dari yang telah kita hitung pada langkah sebelumnya, maka kita dapat melanjutkan untuk menghitung kesalahan dan rata-rata distribusi posterior seperti sebelumnya. f 2 = $y_{2}|D_{1}$a2=G2m1m1θ1| D1e2θ2| D$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Saya pikir perhitungan distribusi posterior adalah apa yang oleh sebagian orang disebut langkah pembaruan dan penggunaan harapan adalah langkah prediksi. y t + 1 | D $\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Demi singkatnya, saya menghilangkan langkah-langkah untuk menghitung matriks kovarians.

Apakah saya melewatkan sesuatu? Apakah Anda tahu cara yang lebih baik untuk menjelaskan hal ini? Saya pikir ini masih agak berantakan, jadi mungkin ada pendekatan yang lebih jelas.

Saya pikir apa yang Anda katakan itu benar, dan saya pikir itu tidak berantakan. Salah satu cara untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa filter Kalman adalah algoritma koreksi kesalahan, yang memodifikasi prediksi berdasarkan perbedaan dengan pengamatan saat ini. Koreksi ini dibuat pada langkah Anda 4) menggunakan matriks gain .$A_t$