Memeriksa apakah kepadatan adalah keluarga eksponensial

Mencoba membuktikan bahwa ini bukan milik keluarga eksponensial.

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

Inilah pendekatan saya:

f (y | a) = 4 (y + a) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = 4(y+a)e^{-log(1+4a)}$

f (y | a) = (4 y) (1 + \frac{a}{y}) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = (4y)(1+\frac{a}{y})e^{-log(1+4a)}$

Membandingkannya dengan bentuk standar, dan yang harus menjadi fungsi hanya , tidak dapat didefinisikan dalam hal saja, seperti di tidak dapat dipisahkan. Apakah ini cukup untuk menunjukkan bahwa distribusi ini bukan milik keluarga eksponensial. $h(y) = 4y$ $g(a)$ $a$ $a$ $y$ $1+\frac{a}{y}$

Harap tinjau pendekatan saya.

self-study pdf exponential-family

— pengguna30438
sumber

Anda telah meletakkan jari Anda pada inti masalah, dan memang hasilnya cukup jelas, tetapi logikanya tampaknya agak aneh. Metode yang dijelaskan di bawah ini berulang kali menggunakan logaritma dan diferensiasi untuk membuat masalah semakin sederhana, sampai menjadi sangat sepele.

Menurut definisi, adalah PDF untuk keluarga eksponensial ketika logaritma dapat ditulis sebagai jumlah dari sesuatu dalam hal parameter ( ) saja, sesuatu yang lain hanya dalam hal data ( ) saja, dan sesuatu yang lain yang merupakan produk dari fungsi dan fungsi . Ini berarti Anda bebas untuk mengabaikan faktor apa pun yang hanya bergantung pada parameter atau hanya pada data. Dalam hal ini jelas hanya bergantung pada , jadi kita dapat mengabaikannya. $f$ $a$ $y$ $a$ $y$ $\frac{4}{1+4a}$ $a$

Masalahnya dengan . Kita perlu membuktikan ada tidak bisa eksis "bagus" fungsi dan sehingga ditambah beberapa fungsi saja ditambah beberapa fungsi lain dari saja. Bahwa "plus" bagian menjengkelkan, tapi kita bisa membunuhnya off dengan membedakan pertama terhadap (turunan dari setiap fungsi saja akan menjadi nol) dan kemudian sehubungan dengan (turunan dari fungsi kehendak sendiri menjadi nol). Setelah meniadakan kedua sisi (untuk membuat sisi kiri positif) ini memberi $y+a$ $\eta$ $T$ $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$ $a$ $y$ $a$ $y$ $y$ $a$

- \frac{\partial^{2}}{\partial a \partial y} \log (y + a) = \frac{1}{(a + y)^{2}} = - η^{'} (a) T^{'} (y) .

$-\frac{\partial^2}{\partial a\partial y}\log(y+a) = \frac{1}{(a+y)^2} = -\eta'(a)T'(y).$

Saya ingin mengambil logaritma untuk menyederhanakan sisi kanan (yang, sama dengan sisi kiri, selalu positif). Dengan asumsi dan keduanya kontinu akan menjamin ada beberapa interval nilai untuk dan untuk di mana salah satu dan atau yang lain dan . Ini berarti kita memang dapat membagi sisi kanan menjadi dua faktor positif, memungkinkan logaritma diterapkan. Melakukannya menghasilkan $\eta'$ $T'$ $a$ $y$ $-\eta'(a)\gt 0$ $T'(y)\gt 0$ $\eta'(a)\gt 0$ $-T'(y)\gt 0$

- 2 \log (a + y) = \log \frac{1}{(a + y)^{2}} = \log (- η^{'} (a) T^{'} (y)) = \log (- η^{'} (a)) + \log (T^{'} (y))

$-2\log(a+y) = \log\frac{1}{(a+y)^2} = \log\left(-\eta'(a)T'(y)\right) = \log(-\eta'(a)) + \log(T'(y))$

(Atau ekspresi yang sebanding dengan beberapa tanda minus dilemparkan ke dalam). Sekarang kita memainkan permainan yang sama: dalam kedua kasus, membedakan kedua sisi sehubungan dengan hasil dan $a$ $y$

\frac{2}{(a + y)^{2}} = 0,

$\frac{2}{(a+y)^2} = 0,$

sebuah ketidakmungkinan.

Melihat ke belakang, pendekatan ini harus mengasumsikan baik dan memiliki turunan kedua dalam beberapa interval argumen mereka. Analisis dapat dilakukan di sepanjang garis yang sama menggunakan perbedaan hingga untuk melemahkan asumsi-asumsi itu, tetapi mungkin tidak sepadan dengan itu. $\eta$ $T$

— whuber
sumber

Notasi saya adalah Wikipedia, yang juga mencantumkan seperangkat aturan untuk mengidentifikasi keluarga eksponensial. . Metode yang diilustrasikan di sini dapat digunakan untuk membenarkan aturan tersebut.

— whuber

Analisis yang indah; penggunaan turunan parsial campuran kedua agak mengingatkan pada kriteria untuk memeriksa apakah fungsi "nomogramable", setidaknya bentuk tertentu (yang juga melibatkan pemisahan serupa).

— Glen_b -Reinstate Monica

Terima kasih @Glen_b. Ini juga lebih dari mengingatkan analisis interaksi dalam tabel dua arah. Itu versi perbedaan-terbatas. ;-)

— whuber

Iya; itu juga koneksi yang saya manfaatkan dalam bermain dengan nomograms.

— Glen_b -Reinstate Monica

@whuber Terima kasih atas penjelasan Anda. Tetapi saya kesulitan untuk memahami mengapa kita mengambil turunan parsial dan mengambil log lagi. Apakah ada kemungkinan bahwa ini diselesaikan dengan mendefinisikan fungsi indikator untuk y yang akan selalu bergantung pada a.

— user30438

Ini akan berada dalam keluarga eksponensial jika dapat ditulis dalam (dengan kondisi lain). $fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$

Misalkan . Sekarang untuk setiap 4 titik data dalam ruang sampel = , yang bebas dari η. $g(x,η)=ηT(x)-A(η)$ $x_1,x_2,x_3,x_4$ $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$

Sekarang di sini = . Ambil . $f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$ $4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$ $g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$

Jadi = - yang tidak bebas dari a. jadi bukan milik keluarga Exponential. $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$ $f(y;a)$

— Mriganka Aulia
sumber

+1 Saya suka pendekatan langsung. Ini jelas menunjukkan bagaimana perbedaan hingga dapat digunakan untuk mengisolasi perilaku kunci .

f

$f$

— whuber