Kepadatan hyperprior untuk model Gamma-Poisson hierarkis

Dalam model hirarki data mana y ∼ Poisson ( λ ) λ ∼ Gamma ( α , β ) , dalam praktiknya biasanya memilih nilai-nilai ( α , β ) sedemikian rupa sehingga rata-rata dan varian distribusi gamma kira-kira sama dengan rerata dan ragam data y (mis., Clayton dan Kaldor, 1987 "Perkiraan Bayes Empiris dari Risiko Relatif Standar untuk Pemetaan Penyakit," Biometrik ). Jelas ini hanya solusi ad hoc , karena akan melebih-lebihkan kepercayaan peneliti pada parameter$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$ dan fluktuasi kecil dalam data yang direalisasi dapat memiliki konsekuensi besar bagi kepadatan gamma,bahkan jikaproses pembuatan data yang mendasarinya tetap sama.$(\alpha, \beta)$

Selanjutnya, dalam Bayesian Data Analysis (2nd Ed), Gelman menulis bahwa metode ini " ceroboh ;" dalam buku ini dan makalah ini (mulai hal. 3232), ia malah menyarankan bahwa beberapa kepadatan hiperprior harus dipilih, dengan cara yang mirip dengan contoh tumor tikus (mulai hal. 130).$p(\alpha, \beta)$

Meskipun jelas bahwa pun dapat diterima asalkan menghasilkan kepadatan posterior yang terbatas, saya belum menemukan contoh kepadatan hiperprior yang telah digunakan para peneliti untuk masalah ini di masa lalu. Saya akan sangat menghargainya jika seseorang dapat mengarahkan saya ke buku atau artikel yang telah menggunakan kepadatan hyperprior untuk memperkirakan model Poisson-Gamma. Idealnya, saya tertarik pada p ( α , β ) yang relatif datar dan akan didominasi oleh data seperti pada contoh tumor tikus, atau diskusi yang membandingkan beberapa spesifikasi alternatif dan pengorbanan yang terkait dengan masing-masing.$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

Tidak benar-benar menjawab pertanyaan, karena saya tidak mengarahkan Anda ke buku atau artikel yang telah menggunakan hyperprior, melainkan menjelaskan, dan menautkan ke, hal-hal tentang prior pada parameter Gamma.

$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$$\lambda$$\lambda$$\beta$

$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Jika kita ingin pergi ke rute Jeffreys Penuh, membentuk Jeffreys sejati sebelum parameter Gamma, kita akan mendapatkan:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

Namun, prior Jeffreys untuk parameter multidimensi sering memiliki sifat yang buruk serta karakteristik konvergensi yang buruk (lihat tautan ke kuliah ). Saya tidak tahu apakah ini kasus untuk Gamma, tetapi pengujian akan memberikan beberapa informasi yang bermanfaat.

Untuk lebih lanjut tentang prior untuk Gamma, lihat halaman 13-14 dari A Catalog of Non-Informative Priors , Yang and Berger. Banyak distribusi lain juga ada di sana. Untuk tinjauan umum tentang Jeffrey dan prior referensi, berikut adalah beberapa catatan kuliah .