Notasi subskrip dalam harapan

Apa arti sebenarnya dari notasi subskrip dalam harapan bersyarat dalam kerangka teori ukuran? Subskrip ini tidak muncul dalam definisi ekspektasi bersyarat, tetapi kita dapat melihat misalnya di halaman wikipedia ini . (Perhatikan bahwa itu tidak selalu terjadi, halaman yang sama beberapa bulan yang lalu). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Apa yang seharusnya misalnya arti dengan dan ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
sumber

Tidak diragukan lagi seseorang akan berpadu dengan definisi formal, secara informal, semua ekspektasi adalah ekspektasi atas distribusi (/ ekspektasi berkenaan dengan) beberapa variabel acak (mungkin multivarian), baik yang telah ditentukan secara tersurat maupun tersirat. Dalam banyak kasus jelas ( menyiratkan daripada ). Di lain waktu, perlu dibedakan; pertimbangkan hukum varians total sebagai contoh: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@ Glen_b Apakah benar-benar perlu untuk menentukan dalam hukum varian total? Sebagai , untuk beberapa , tidakkah jelas bahwa lebih dari ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ Thomas Kamu benar - "perlu" adalah kata yang terlalu kuat untuk contoh itu. Meskipun secara tegas itu harus jelas, sering kali merupakan titik kebingungan bagi pembaca yang tidak terbiasa bekerja dengannya, jadi itu umum, daripada perlu, untuk eksplisit tentang hal itu. Ada beberapa ekspresi yang melibatkan harapan di mana Anda tidak dapat memastikan tanpa menentukan, tetapi itu tidak benar-benar salah satu dari mereka

— Glen_b

Dalam ekspresi di mana lebih dari satu variabel acak terlibat, simbol sendiri tidak menjelaskan sehubungan dengan variabel acak mana nilai yang diharapkan "diambil". Sebagai contoh $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ atau

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Tidak juga . Ketika banyak variabel acak terlibat, dan tidak ada subskrip dalam simbol , nilai yang diharapkan diambil sehubungan dengan distribusi bersama mereka: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Ketika sebuah subskrip hadir ... dalam beberapa kasus ia memberi tahu kita tentang variabel mana yang harus kita kondisikan . Begitu

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Tetapi dalam kasus lain, ia memberi tahu kita kepadatan yang digunakan untuk "rata-rata"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Agak membingungkan saya akan mengatakan, tetapi siapa yang mengatakan bahwa notasi ilmiah benar-benar bebas dari ambiguitas atau penggunaan ganda? Anda harus melihat bagaimana masing-masing penulis mendefinisikan penggunaan simbol tersebut.

— Alecos Papadopoulos
sumber

Saya punya dua pertanyaan. 1) Tidak yakin jika saya memahami ini dengan benar, dapatkah saya mengartikan ekspektasi sebagai salah satu dari dua persamaan pertama, jika X atau Y telah diperbaiki? 2) Bisakah Anda memberikan contoh untuk EQ 4 dan EQ 5? Saya kesulitan menafsirkannya dan saya pikir contoh nyata akan membantu. Terima kasih!

— plafon kucing

@ceiling cat 1) benar karena pada dasarnya Anda tidak memiliki dua variabel acak lagi. Demikian juga untuk memperbaiki ke .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5: Pertimbangkan . adalah variabel acak baik-baik saja (untuk dukungan yang sesuai). Kemudian menggunakan makna spesifik untuk notasi tangan pendek, mana adalah kerapatan (apa pun itu). Jelas tidak terintegrasi, dan itu akan tetap utuh. Tetapi hasilnya Anda akan memperoleh tidak akan t menjadi angka (seperti dalam komentar saya sebelumnya), tetapi variabel acak (fungsi ), karena sini tidak tetap, hanya saja tidak terintegrasi.

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat Dalam kedua kasus di dua komentar saya sebelumnya, "mekanika" perhitungan matematika akan sama. Hasil akhirnya memiliki interpretasi yang berbeda.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ4: Pertimbangkan variabel acak . Nilai yang diharapkan tergantung pada adalah (menggunakan arti lain untuk notasi steno) . Perhatikan bahwa di sini 's dan 's tidak muncul secara langsung di integrand -mereka "terkondensasi" pada simbol .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos