Bisakah kita membuat distribusi Irwin-Hall lebih umum?

Saya perlu menemukan kelas distribusi kurtosis rendah simetris, yang meliputi distribusi seragam, segitiga dan Gaussian normal. Distribusi Irwin-Hall (jumlah seragam standar) menawarkan karakteristik ini, tapi tidak memperlakukan perintah non-integer . Namun, jika Anda misalnya meringkas secara mandiri mis. 2 seragam standar dan yang ketiga dengan kisaran yang lebih kecil seperti Anda memang akan mendapatkan versi Irwin-Hall yang lebih umum dan lancar untuk setiap sembarang order (seperti dalam kasus ini). Namun, saya bertanya-tanya apakah mungkin untuk menemukan formula tertutup praktis untuk CDF? $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

— user32038
sumber

"Diperpanjang dengan lancar" menimbulkan beberapa pertanyaan pelik. Dalam utas di stats.stackexchange.com/questions/41467 , poster mengamati bahwa kelancaran distribusi Irwin-Hall berubah tiba-tiba dari satu (integral) nilai ke yang berikutnya. Ini sudah menyarankan kita seharusnya tidak mengharapkan akan ada bentuk tertutup "bagus" secara matematis yang diparameterisasi dengan nilai riil . Selain itu, tidak ada formula tertutup seperti itu bahkan untuk distribusi Irwin-Hall itu sendiri.

n

$n$

n

$n$

— whuber

Hai, saya membuat eksperimen pengambilan sampel terperinci dan melihat histogram distribusi Irwin-Hall yang digeneralisasi. Memang, memperkenalkan non-integer N membantu untuk menghindari lompatan dalam perilaku! Juga misalkan kurtosis meningkat dengan lancar dengan nilai nyata N. Jika ini bukan masalahnya, maka memang tidak baik. Saya pikir itu mungkin untuk memperpanjang formula penjumlahan Irwin-Hall untuk CDF dalam beberapa cara.

— user32038

Penjumlahan bukanlah "formula tertutup" dalam arti kata yang biasa karena jumlah istilah bertambah tanpa terikat karena bervariasi. Ini adalah perbedaan penting, karena rumus tertutup benar ada: fungsi karakteristik distribusi Irwin-Hall, ada untuk non-integral dan begitu kebalikannya Fourier Transform jawaban pertanyaan Anda - yaitu, jika Anda mempertimbangkan bahwa tertutup praktis rumus!

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$

n

$n$

— whuber

Hai Whuber! Saya membutuhkan implementasi yang sesuai misalnya dalam Pascal. Untuk N moderat (seperti 20) formula CDF Irwin-Hall yang terkenal tidak ada masalah sama sekali, tapi saya tidak ingin menghabiskan terlalu banyak waktu komputasi, misalnya untuk integrasi, (invers) transformasi Fourier atau apa pun. Tentu saja, pendekatan transformasi Fourier elegan, tetapi tidak begitu akurat, karena saya sangat tertarik pada CDF (x) untuk "besar" x, jadi area ekor penting bagi saya!

— user32038

Hai, dapatkah Anda membuat sketsa kami dengan lebih detail bagaimana Anda akan beralih dari transformasi Fourier PDF ke CDF biasa? (walaupun saya umumnya percaya metode ini memiliki masalah osilasi di bagian ekor, misalnya memberikan PDF negatif jika kita mencoba untuk mengevaluasi integral ...).

— user32038

Yah, ini bukan jawaban yang lengkap, akan kembali lagi nanti untuk menyelesaikan ...

Simulasi Stochastic buku Brian Ripley memiliki rumus pdf tertutup sebagai latihan 3.1 halaman 92 dan diberikan di bawah ini: Implementasi R dari ini adalah di bawah ini:

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

yang digunakan seperti ini:

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

dan berikan plot ini:

Ketidakjelasan pada nilai integer dapat dilihat, setidaknya dengan penglihatan yang baik .... $x=1, x=2$

(Saya akan kembali untuk menyelesaikan ini nanti)

— kjetil b halvorsen
sumber

+1 Saya tertarik melihat apa penyelesaiannya, jika Anda punya waktu. ... Sebagai tambahan, sementara saya tahu bahwa ada kekurangan kelancaran di sini (dalam arti ada diskontinuitas dalam turunan kedua) Saya tidak bisa mengatakan bahwa saya benar-benar menganggapnya sebagai tidak mulus (mata saya cenderung mengatakan "Tidak ada ketegaran, itu terlihat mulus"). Saya berasumsi bahwa jika saya mengendarai roller coaster di sepanjang kurva itu, saya pasti akan merasakan perubahannya.

— Glen_b -Reinstate Monica

Untuk sesaat kehabisan waktu ... nanti

— kjetil b halvorsen

Juga melihat kurangnya kelancaran mungkin kita perlu memilih titik-titik plot untuk memasukkan bilangan bulat ...

— kjetil b halvorsen