Memahami teori d-separation dalam jaringan Bayesian kausal

Saya mencoba memahami logika d-Separation di Causal Bayesian Networks. Saya tahu bagaimana algoritma bekerja, tetapi saya tidak benar-benar mengerti mengapa "aliran informasi" bekerja seperti yang dinyatakan dalam algoritma

Sebagai contoh pada grafik di atas, mari kita berpikir bahwa kita hanya diberi X dan tidak ada variabel lain yang diamati. Kemudian menurut aturan pemisahan d, informasi mengalir dari X ke D:

1. X mempengaruhi A, yaitu $P(A)\neq P(A|X)$ . Ini OK, karena A menyebabkan X dan jika kita tahu tentang efek X, ini memengaruhi keyakinan kita tentang penyebab A. Aliran informasi.

2. X mempengaruhi B, yaitu $P(B)\neq P(B|X)$ . Ini OK, karena A telah diubah oleh pengetahuan kita tentang X, perubahan di A dapat memengaruhi keyakinan kita tentang penyebabnya, B, juga.

3. X mempengaruhi C, yaitu $P(C)\neq P(C|X)$ . Ini OK karena kita tahu bahwa B bias oleh pengetahuan kita tentang efek tidak langsungnya, X, dan karena B bias oleh X, ini akan memengaruhi semua efek langsung dan tidak langsung B. C adalah efek langsung dari B dan dipengaruhi oleh pengetahuan kita tentang X.

Ya, sampai titik ini, semuanya baik-baik saja bagi saya karena aliran informasi terjadi sesuai dengan hubungan sebab-akibat intuitif. Tetapi saya tidak mendapatkan perilaku khusus dari apa yang disebut "V-Structure" atau "Colliders" dalam skema ini. Menurut teori d-Pemisahan, B dan D adalah penyebab umum C dalam grafik di atas dan dikatakan bahwa jika kita tidak mengamati C atau keturunannya, informasi aliran dari X diblokir di C. Nah, OK , tapi pertanyaan saya adalah mengapa?

Dari tiga langkah di atas, dimulai dari X, kami melihat bahwa C dipengaruhi oleh pengetahuan kami tentang X dan aliran informasi terjadi sesuai dengan hubungan sebab-akibat. Teori d-Separation mengatakan bahwa kita tidak bisa beralih dari C ke D karena C tidak diamati. Tapi saya pikir karena kita tahu bahwa C bias dan D adalah penyebab C, D harus terpengaruh juga, sementara teori mengatakan sebaliknya. Saya jelas kehilangan sesuatu dalam pola pikir saya tetapi tidak dapat melihat apa itu.

Jadi saya perlu penjelasan mengapa aliran informasi diblokir di C, jika C tidak diamati.

Apakah itu tidak intuitif bahwa Anda tidak dapat beralasan dari sebab akibat yang tidak teramati ke sebab lain? Jika hujan (B) dan sprinkler (D) adalah penyebab dari tanah basah (C), maka dapatkah Anda berargumen bahwa melihat hujan menyiratkan bahwa tanah itu mungkin basah, dan terus beralasan bahwa sprinkler harus ada sejak tanah basah?! Tentu saja tidak. Anda berpendapat bahwa tanahnya basah karena hujan - Anda tidak dapat mencari penyebab tambahan!

Jika Anda mengamati tanah yang basah, tentu saja situasinya berubah. Sekarang Anda mungkin dapat beralasan dari satu sebab ke penyebab lain seperti yang dijelaskan Frank.

Mari kita lupakan X sejenak dan pertimbangkan hanya collider dari B, C dan D. Alasan bahwa struktur-v dapat memblokir jalur antara B dan D adalah bahwa, secara umum, jika Anda memiliki dua variabel acak independen (B dan D) yang mempengaruhi hasil yang sama (C), kemudian mengetahui hasilnya dapat memungkinkan Anda untuk menarik kesimpulan tentang hubungan antara variabel acak, sehingga memungkinkan arus informasi.

$P(B|D) \neq P(B)$$P(D|B) \neq P(D)$). Oleh karena itu, mengetahui bahwa halaman basah akan membuka jalan dan membuat B dan D tergantung.

Untuk memahami ini lebih baik, mungkin berguna untuk melihat Paradox Berkson , yang menggambarkan situasi yang sama.

Ya, sampai titik ini, semuanya baik-baik saja bagi saya karena aliran informasi terjadi sesuai dengan hubungan sebab-akibat intuitif. Tapi saya tidak mendapatkan perilaku khusus dari apa yang disebut "V-Structure" atau "Colliders" dalam skema ini.

Maka kacang yang sulit retak di sini adalah struktur-v. Saya ingin mengilustrasikan perbedaan antara probabilitas variabel S yang dikondisikan hanya pada pengamatan efek dan pengaruh pengamatan variabel lain D yang independen terhadap S dalam situasi yang sama menggunakan contoh fiktif.

Katakanlah seseorang mengambil kursus, katakanlah aljabar linier. Jika dia bisa lulus, itu tergantung pada sulitnya ujian. Mari kita tunjukkan acara lulus kursus dengan P, lulus sebagai 1 dan 0 sebaliknya; dan kesulitan ujian sebagai D, sulit 1 dan semudah 0. Dan sesuatu yang tidak masuk akal juga dapat mempengaruhi kinerjanya atau hasilnya, katakanlah singularitas terjadi dan dia akan dicuci otak dengan mesin dan kemudian memutuskan untuk tidak ikut ujian. Kami menyatakan peristiwa itu dengan S, dan probabilitasnya adalah 0,0001. Kelihatannya mustahil tetapi menurut definisi kesempatannya tidak boleh nol.

Karenanya kita memiliki grafik bentuk-struktur v sekarang:

 D   S
  | |
 \| |/ 
   P  

$P(\neg P|S) = 0.999999$$P(P|S)=0.000001$

| d0   | d1      |      
|:-----|--------:|   
| 0.5  | 0.5     |  

| s0     | s1      |      
|:-------|--------:|   
| 0.9999 | 0.0001  |

| S     | D    | P(p0|S,D) | P(p1|S,D) |  
|:------|-----:|----------:|----------:|
|s0     | d0   |   0.20    |   0.80    |
|s0     | d1   |   0.90    |   0.10    |
|s1     | d0   |   0.999999|   0.000001|
|s1     | d1   |   0.999999|   0.000001| 

$P(S|P)$$P(S|P, D)$

1) Jika kita tidak tahu hasilnya, kita bisa menghitung probabilitas singularitas yang terjadi karena kursusnya mudah.

$$\begin{align} P(S|\neg D) & = P(S, P|\neg D)+P(S, \neg P| \neg D) \\ & = \frac{P(S=1, P=1, D=0)}{P(D=0)} + \frac{P(S=1, P=0, D=0)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)P(P=1|D=0,S=1)}{P(D=0)} + \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)P(P=0|D=0,S=1)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0)}{P(D=0)} \\ & = P(S=1) \\ & = 0.0001 \end{align}$$

Seperti yang Anda lihat di atas, tidak masalah apakah ujian telah lulus atau tidak. Apa yang datang sebagaimana mestinya datang. Ini dapat dilihat sebagai probabilitas marginal di atas P.

Dan kita juga bisa menghitung kemungkinan singularitas terjadi mengingat siswa tidak lulus ujian:

$$\begin{align} P(S, |\neg P) &= \frac{P(S,\neg P)}{P(\neg P)} \\ &= \frac{P(S,\neg p, D) + P(S,\neg P, \neg D)}{P(\neg P)}\\ &= \frac{P(\neg P|S, D) P(S) P(D)+P(\neg P|S, \neg D)P(S)P(\neg D)}{\sum_{S,D}P(\neg P |S,D)P(S)P(D) }\\ &= 0.0001818 \end{align}$$

Knowing that the guy doesn't pass the exam we can guess that he may be brainwashed by a machine is 0.0001818 which is a little bigger than when we don't know it.

2) But what if we know that the guy failed the exam and the exam is easy?

$$\begin{align} P(S, |\neg P, \neg D) &= \frac{P(S=1, P=0, D=0)}{P(P=0, D=0)} \\ & = \frac{P(P=0|S=1, D=0)P(S=1)P(D=0)}{P(P=0|S=1, D=0)P(S=1)P(D=0)+P(P=0|S=0, D=0)P(S=0)P(D=0)} \\ & = \frac{0.999999 \times 0.0001 \times 0.5}{0.2 \times 0.9999 \times 0.5+0.999999 \times 0.0001 \times 0.5} \\ & = 0.0004998 \end{align}$$

Lo and behold, the change is much bigger than we just know he doesn't plass the exam. Then we see that $P(S|P) \neq P(S|P, D)$ we can infer that $S \perp D | P \notin I(P(P, S, D))$ which means D can influence S via P.

May this detailed derivation be of hlep.