Harapan Quotient dari Jumlah Jumlah Variabel Acak IID (lembar kerja Universitas Cambridge)

Saya sedang mempersiapkan sebuah wawancara yang membutuhkan pengetahuan yang baik tentang probabilitas dasar (setidaknya untuk melewati wawancara itu sendiri). Saya sedang mengerjakan lembar di bawah ini dari hari-hari mahasiswa saya sebagai revisi. Sebagian besar cukup mudah, tetapi saya benar-benar bingung dengan pertanyaan 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Bantuan apa pun akan dihargai.

Sunting: pertanyaannya adalah:

Misalkan adalah variabel bebas positif terdistribusi identik secara identik dengan dan . Misalkan $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ . Tunjukkan bahwa $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ ketika , dan ketika . $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

Bahkan, dalam proses mengetik ini, saya sudah menyelesaikan bagian kedua.

Untuk , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

dan pembilang dan penyebut dari rasio di atas jelas independen, jadi:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

dan kami mendapatkan hasil yang diinginkan.

Saya masih terjebak pada bagian pertama.

probability self-study random-variable

— Spy_Lord
sumber

Adalah penting bahwa posting mandiri. Harap edit ini untuk memasukkan versi pertanyaan yang bisa dibaca. Kami juga meminta Anda menunjukkan pendekatan apa yang telah Anda coba dan kemajuan apa, jika ada, yang telah Anda buat: jika tidak, kami tidak memiliki dasar untuk mengukur tingkat yang digunakan untuk menulis jawaban.

— whuber

Diperbarui seperti yang diminta.

— Spy_Lord

Kerja bagus! Berikut adalah saran untuk bagian pertama: ketika Anda menambahkan

salinan identik

bersamaan, sepertinya jumlah tersebut akan memiliki distribusi yang harapannya mudah dihitung hanya dengan menggunakan asumsi iid.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

Saya menghargai tawaran Anda untuk menuliskannya; Saya pikir itu akan menjadi tambahan yang berguna untuk situs kami.

— whuber

OK saya pikir langkah yang saya pikir awalnya benar, kemudian memutuskan salah, sebenarnya OK! Pada dasarnya, ketika Anda mendapatkan ke titik di mana Anda memiliki

maka ini, oleh properti iid, identik dengan

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$ Bisakah Anda mengonfirmasi tidak apa-apa? Jika demikian saya akan mengetiknya setelah tergesa-gesa.

— Spy_Lord

Jawaban:

Bercak untuk menambahkan salinan identik $n$ sangat pintar! Tetapi beberapa dari kita tidak begitu pintar, jadi menyenangkan untuk dapat "menunda" Ide Besar ke tahap di mana lebih jelas apa yang harus dilakukan. Tanpa tahu harus mulai dari mana, tampaknya ada sejumlah petunjuk bahwasimetribisa sangat penting (penambahan simetris dan kami memiliki beberapa penjumlahan, dan variabel awal memiliki harapan yang sama sehingga mungkin mereka dapat ditukar atau diganti namanya dengan cara yang bermanfaat). Sebenarnya bagian "sulit" dari pertanyaan ini adalah bagaimana menangani pembagian, operasi yangtidaksimetris. Bagaimana kita bisa mengeksploitasi simetri penjumlahan? Dari linearitas harapan, kami memiliki: $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Tetapi kemudian dengan alasan simetri, mengingat bahwa adalah iid dan , semua istilah di sisi kanan adalah sama! Mengapa? Ganti label dan untuk $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ . Dua istilah dalam posisi saklar penyebut tetapi setelah menata ulang itu masih berjumlah , sedangkan pembilangnya berubah dari ke . Jadi $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ . Mari kita menulis untuk dan karena ada seperti istilah yang kita miliki . $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Sepertinya yang akan menghasilkan hasil yang benar. Tapi bagaimana cara membuktikannya? Kita tahu $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Hanya pada tahap ini saya sadar saya harus menambahkan ini bersama-sama, untuk mendapatkan

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Apa yang baik tentang metode ini adalah mempertahankan kesatuan dari dua bagian dari pertanyaan. Alasan simetri rusak, membutuhkan penyesuaian kapan $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

$r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

$m>n$

— Gegat
sumber

Sebuah eksposisi yang sangat bagus pada pemikiran Anda yang mengerjakan pertanyaan, dan Anda membuat langkah nk eksplisit (jawaban saya hanya mengatakan 'jelas sama'). Bersulang!

— Spy_Lord

Terima kasih Whuber untuk petunjuk untuk bagian pertama.

$nS_m/S_n$ $m<=n$

$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

dan oleh properti iid, ini sama dengan:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— Spy_Lord
sumber