Varian sampel rata-rata sampel bootstrap

9

Mari $X_{1},...,X_{n}$ menjadi pengamatan yang berbeda (tidak ada ikatan). Mari $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ menunjukkan sampel bootstrap (sampel dari CDF empiris) dan biarkan . Temukan dan . $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

Sejauh ini yang saya miliki adalah adalah masing-masing dengan probabilitas jadi dan yang memberi $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ $\frac{1}{n}$

E (X_{saya}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

E (X_{saya}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V Sebuah r (X_{saya}^{*}) = E (X_{saya}^{* 2}) - (E (X_{saya}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

Kemudian, dan karena ' Ini independen. Ini memberi

E ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} E (X_{saya}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V Sebuah r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = V Sebuah r (\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{saya = 1}^{n} V Sebuah r (X_{saya}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

Namun, saya tidak mendapatkan jawaban yang sama ketika saya mengkondisikan pada dan menggunakan rumus untuk varian bersyarat: $X_{1},\ldots,X_{n}$

V Sebuah r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (V Sebuah r ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V Sebuah r (E ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, ..., X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ dan jadi memasukkan ini ke dalam rumus di atas memberi (setelah beberapa aljabar) . $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

Apakah saya melakukan sesuatu yang salah di sini? Perasaan saya adalah bahwa saya tidak menggunakan rumus varian bersyarat dengan benar, tetapi saya tidak yakin. Bantuan apa pun akan dihargai.

— rrruss
sumber

Mungkin V Anda (E (X | X1..Xn)) tidak dihitung dengan benar. Jawabannya harus sama.

Anda mungkin benar - tetapi jawaban ini sepertinya tidak terlalu informatif. Mungkin Anda bisa menunjuk ke bagian mana yang tidak benar?

— whuber

5

$\frac{n-1}{n^2}S^2$

— Greg
sumber

4

Ini mungkin jawaban yang terlambat, tetapi yang salah dalam perhitungan Anda adalah sebagai berikut: Anda berasumsi bahwa sampel bootstrap Anda tanpa syarat adalah iid. Ini salah: tergantung pada sampel Anda, sampel bootstrap memang iid, tetapi tanpa syarat Anda kehilangan independensi (tetapi Anda masih memiliki variabel acak yang didistribusikan secara identik). Ini pada dasarnya Latihan 13 dalam Larry Wasserman Semua statistik nonparametrik .

— M Turgeon
sumber