Dapatkah standar deviasi dihitung untuk rata-rata harmonik?

Bisakah standar deviasi dihitung untuk rata-rata harmonik? Saya mengerti bahwa standar deviasi dapat dihitung untuk rata-rata aritmatika, tetapi jika Anda memiliki rata-rata harmonis, bagaimana Anda menghitung standar deviasi atau CV?

Rata-rata harmonik dari variabel acak didefinisikan sebagai$H$$X_1,...,X_n$

$$H=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}}$$

Mengambil momen pecahan adalah bisnis berantakan, jadi bukan saya lebih suka bekerja dengan . Sekarang$1/H$

$$\frac{1}{H}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}$$ .

Dalam teorema limit pusat, kita segera mendapatkan itu

$$\sqrt{n}\left(H^{-1}-EX_1^{-1}\right)\to N(0,VarX_1^{-1})$$

jika tentu saja dan adalah iid, karena kami bekerja sederhana dengan rata-rata aritmatika variabel .$VarX_1^{-1}<\infty$$X_i$$Y_i=X_i^{-1}$

Sekarang menggunakan metode delta untuk fungsi kita dapatkan itu$g(x)=x^{-1}$

$$\sqrt{n}(H-(EX_1^{-1})^{-1})\to N\left(0, \frac{VarX_1^{-1}}{(EX_1^{-1})^4}\right)$$

Hasil ini asimptotik, tetapi untuk aplikasi sederhana mungkin cukup.

Pembaruan Seperti yang ditunjukkan @whuber dengan tepat, aplikasi sederhana adalah nama yang salah. Teorema batas pusat hanya berlaku jika ada, yang merupakan asumsi yang sangat membatasi.$VarX_1^{-1}$

Perbarui 2 Jika Anda memiliki sampel, maka untuk menghitung standar deviasi, cukup masukkan momen sampel ke dalam rumus. Jadi untuk sampel , estimasi rata-rata harmonik adalah$X_1,...,X_n$

$$\begin{align} \hat{H}=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}} \end{align}$$

contoh momen dan masing-masing adalah:$EX_1^{-1}$$Var(X_1^{-1})$

$$\begin{align} \hat{\mu}_{R}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}\\\\ \hat{\sigma}_{R}^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{X_i}-\mu_R\right)^2 \end{align}$$

di sini berarti timbal balik.$R$

Akhirnya rumus perkiraan untuk standar deviasi adalah$\hat{H}$

$$\begin{align*} sd(\hat{H})=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_R^2}{n\hat{\mu}_R^4}} \end{align*}$$

Saya menjalankan beberapa simulasi Monte-Carlo untuk variabel acak yang terdistribusi secara merata dalam interval . Ini kodenya:$[2,3]$

hm <- function(x)1/mean(1/x)
sdhm <- function(x)sqrt((mean(1/x))^(-4)*var(1/x)/length(x))

n<-1000

nn <- c(10,30,50,100,500,1000,5000,10000)

N<-1000

mc<-foreach(n=nn,.combine=rbind) %do% {

    rr <- matrix(runif(n*N,min=2,max=3),nrow=N)

    c(n,mean(apply(rr,1,sdhm)),sd(apply(rr,1,sdhm)),sd(apply(rr,1,hm)))

}
colnames(mc) <- c("n","DeltaSD","sdDeltaSD","trueSD")

> mc
             n     DeltaSD    sdDeltaSD      trueSD
result.1    10 0.089879211 1.528423e-02 0.091677622
result.2    30 0.052870477 4.629262e-03 0.051738941
result.3    50 0.040915607 2.705137e-03 0.040257673
result.4   100 0.029017031 1.407511e-03 0.028284458
result.5   500 0.012959582 2.750145e-04 0.013200580
result.6  1000 0.009139193 1.357630e-04 0.009115592
result.7  5000 0.004094048 2.685633e-05 0.004070593
result.8 10000 0.002894254 1.339128e-05 0.002964259

Saya mensimulasikan Nsampel sampel nberukuran. Untuk setiap nsampel berukuran saya menghitung estimasi estimasi standar (fungsi sdhm). Kemudian saya membandingkan rata-rata dan standar deviasi dari estimasi ini dengan standar deviasi sampel dari rata-rata harmonik yang diperkirakan untuk setiap sampel, yang seharusnya merupakan standar deviasi rata-rata rata-rata harmonik.

Seperti yang Anda lihat hasilnya cukup baik bahkan untuk ukuran sampel sedang. Tentu saja distribusi seragam adalah yang berperilaku sangat baik, sehingga tidak mengherankan bahwa hasilnya baik. Saya akan pergi ke orang lain untuk menyelidiki perilaku untuk distribusi lain, kode ini sangat mudah untuk beradaptasi.

Catatan: Di versi sebelumnya dari jawaban ini ada kesalahan dalam hasil metode delta, varians salah.

$x_i$$1/x_i$

Kerugian utama adalah bahwa perhitungan tidak menghasilkan interval kepercayaan yang baik untuk distribusi dasar yang sangat miring. Itu kemungkinan akan menjadi masalah dengan metode tujuan umum: rata-rata harmonik peka terhadap keberadaan bahkan nilai kecil tunggal dalam dataset.

$20$$n=12$$4$$20$

Berikut adalah Rkode untuk simulasi dan gambar.

k <- 5             # Gamma parameter
n <- 12            # Sample size
hm <- k-1          # True harmonic mean
set.seed(17)

t.crit <- -qt(0.05/2, n-1)
par(mfrow=c(4, 5))
for(i in 1:20) {
  #
  # Generate a random sample.
  #
  x <- rgamma(n, k)
  #
  # Estimate the harmonic mean.
  #
  fit <- lm(x ~ 1, weights=1/x)
  beta <- coef(summary(fit))[1, ]
  message("Harmonic mean estimate is ", signif(beta["Estimate"], 3), 
          " +/- ", signif(beta["Std. Error"], 3))
  #
  # Plot the results.
  #
  covers <- abs(beta["Estimate"] - hm) <= t.crit*beta["Std. Error"]
  plot(ecdf(x), main="Empirical CDF", sub=ifelse(covers, "", "***"))
  rect(beta["Estimate"] - t.crit*beta["Std. Error"], 0, 
       beta["Estimate"] + t.crit*beta["Std. Error"], 1.25, 
       border=NA, col=gray(0.5, alpha=0.10))
  abline(v = hm, col="Blue", lwd=2)
  abline(v = beta["Estimate"], col="Red", lty=3, lwd=2)
}

Berikut adalah contoh untuk Exponential r.v's.

$n$

$$S = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}$$

$n$$X_i \sim {\rm Exp}(\lambda)$$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim {\rm Gamma}(n, \theta)$$

$\theta = \frac{1}{\lambda}$

$$\frac{1}{n} {\rm Gamma}(n, \theta) \sim {\rm Gamma}(n, \frac{\theta}{n})$$

$S$

$$S \sim {\rm InvGamma}(n, \frac{n}{\theta})$$

Varian (dan standar deviasi) rv ini sudah dikenal, lihat, misalnya di sini .

$1/X$$1/X$$X$$X\ge1$$1/X$$1$

$$\sigma=\sqrt{\frac{N}{\sum_{i=1}^{N}{\left(\frac{1}{\hat{x}}-\frac{1}{x_i}\right)^2}}},$$

$\hat{x} = \frac{N}{\sum \frac{1}{x_i}}$$\hat{x} = \frac{N}{\sum \frac{1}{x_i}}$$x$

$\sqrt{\frac{1}{N}\sum(\hat{x}-x_i)^2}$$\hat{x}$$\hat{x}$$\hat{x}=\mu=\frac{1}{N}\sum x_i$