Masalah menghitung distribusi gabungan dan marginal dari dua distribusi seragam


8

Misalkan kita memiliki variabel acak X1 didistribusikan sebagai U[0,1] dan X2 didistribusikan sebagai U[0,X1]dimana U[Sebuah,b] berarti distribusi seragam dalam interval [Sebuah,b].

Saya dapat menghitung pdf gabungan dari (X1,X2) dan pdf marginal dari X1.

hal(x1,x2)=1x1, untuk 0x11,0x2x1,

hal(x1)=1, untuk 0x11.

Namun saat menghitung marginal pdf dari X2Saya menghadapi masalah batasan. Hasil integral dari marginal dariX2 adalah catatan(X1) dan batasnya adalah dari 0 hingga 1. As catatan(X1) tidak ditentukan untuk X1=0, Saya menghadapi kesulitan.

Apakah saya salah di suatu tempat? Terima kasih.


Apakah Anda kebetulan X2 didistribusikan sebagai U [0, X1]?
SheldonCooper

SheldonCopper: Itu benar. Saya akan mengubahnya.

1
Batas untuk marjinal X2 bukan dari 0 hingga 1 kecuali saat X2=0.
whuber

Terimakasih Anda benar. Jadi, kita harus mengganti batas untuk kepadatan marginal X2 sebagai X1 = X2 ke X1 = 1.

Jawaban:


3

Dalam integral "marginalisasi", batas bawah untuk x1 tidak 0 tapi x2 (karena 0<x2<x1 kondisi).

Jadi integralnya harus:

hal(x2)=hal(x1,x2)dx1=saya(0x2x11)x1dx1=x21dx1x1=lHaig(1x2)

Anda telah menemukan, apa yang saya pikir adalah salah satu bagian tersulit dari integral statistik - menentukan batas-batas integrasi.

CATATAN: Ini konsisten dengan jawaban Henry, milik saya adalah PDF, dan miliknya adalah CDF. Membedakan jawabannya memberi Anda milikku, yang menunjukkan kami berdua benar.


Ya, saya sudah mengetahuinya sebelum Anda memberikan jawaban :) ... Terima kasih.

catatan(1/x2)=-catatan(x2)itulah yang saya temukan
Henry

1

Anda seharusnya tidak X1 dalam distribusi marginal untuk X2

Saya berharap Anda mendapatkannya P(X2x2)=x2(1-catatan(x2)) dan turunannya memberikan densitas marginal dari -catatan(x2).

Ini berasal dari P(X2x2|X1=x1)=1 jika x1x2, dan P(X2x2|X1=x1)=x2x1 jika x2x1 jadi integralnya adalah

P(X2x2)=x1=0x2dx1+x1=x21x2x1dx1
=[x1]x1=0x1=x2+[x2catatan(x1)]x1=x2x1=1
=x2-0+x2catatan(1)-x2catatan(x2)
=x2(1-catatan(x2))

Henry: log (X1) adalah setelah mengintegrasikan (tetapi sebelum mengganti batas) untuk marginal X2. P (X2) Anda salah. Saya percaya Anda mengintegrasikan log (X1) yang saya katakan yang kami dapatkan setelah integrasi itu sendiri.

@ Salam: pengujian menggunakan R, jelas bagi saya itu P(X2x2)=x2(1-catatan(x2)) sudah benar untuk 0<x2<1. Saya juga telah memperluas integral untuk menunjukkan bagaimana ini diperoleh. Jadi yang manaP(X2)apakah menurut Anda salah?
Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Terima kasih Henry. Tapi saya pikir apa yang Anda lakukan benar, namun marjinal X2 akan menjadiln(X1)tanpa batas.

X11 begitu dalam(x1)0, yang berarti tidak bisa menjadi fungsi kepadatan atau distribusi. Dan saya masih berpikirX1 seharusnya tidak muncul dalam distribusi marjinal X2. en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution mengatakan hal yang sama dalam "Distribusi variabel marginal (distribusi marginal) diperoleh dengan memarginalkan distribusi variabel yang dibuang, dan variabel yang dibuang dikatakan telah dipinggirkan. . "
Henry
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.