Masalah menghitung distribusi gabungan dan marginal dari dua distribusi seragam

Misalkan kita memiliki variabel acak $X_1$ didistribusikan sebagai $U[0,1]$ dan $X_2$ didistribusikan sebagai $U[0,X_1]$ dimana $U[a,b]$ berarti distribusi seragam dalam interval $[a,b]$ .

Saya dapat menghitung pdf gabungan dari $(X_1,X_2)$ dan pdf marginal dari $X_1$ .

hal (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, untuk 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

hal (x_{1}) = 1, untuk 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Namun saat menghitung marginal pdf dari $X_2$ Saya menghadapi masalah batasan. Hasil integral dari marginal dari $X_2$ adalah $\log(X_1)$ dan batasnya adalah dari 0 hingga 1. As $\log(X_1)$ tidak ditentukan untuk $X_1=0$ , Saya menghadapi kesulitan.

Apakah saya salah di suatu tempat? Terima kasih.

pdf marginal joint-distribution

— Andre Silva
sumber

Apakah Anda kebetulan X2 didistribusikan sebagai U [0, X1]?

— SheldonCooper

SheldonCopper: Itu benar. Saya akan mengubahnya.

Batas untuk marjinal

X_{2}

$X_2$ bukan dari 0 hingga 1 kecuali saat

X_{2} = 0

$X_2 = 0$ .

— whuber

Terimakasih Anda benar. Jadi, kita harus mengganti batas untuk kepadatan marginal X2 sebagai X1 = X2 ke X1 = 1.

Jawaban:

Dalam integral "marginalisasi", batas bawah untuk $x_1$ tidak $0$ tapi $x_2$ (karena $0<x_2<x_1$ kondisi).

Jadi integralnya harus:

hal (x_{2}) = \int hal (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{saya (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l Hai g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Anda telah menemukan, apa yang saya pikir adalah salah satu bagian tersulit dari integral statistik - menentukan batas-batas integrasi.

CATATAN: Ini konsisten dengan jawaban Henry, milik saya adalah PDF, dan miliknya adalah CDF. Membedakan jawabannya memberi Anda milikku, yang menunjukkan kami berdua benar.

— probabilityislogic
sumber

Ya, saya sudah mengetahuinya sebelum Anda memberikan jawaban :) ... Terima kasih.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$ itulah yang saya temukan

— Henry

Anda seharusnya tidak $X_1$ dalam distribusi marginal untuk $X_2$

Saya berharap Anda mendapatkannya $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ dan turunannya memberikan densitas marginal dari $-\log(x_2)$ .

Ini berasal dari $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ jika $x_1 \le x_2$ , dan $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ jika $x_2 \le x_1$ jadi integralnya adalah

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} catatan (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} catatan (1) - x_{2} catatan (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - catatan (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— Henry
sumber

Henry: log (X1) adalah setelah mengintegrasikan (tetapi sebelum mengganti batas) untuk marginal X2. P (X2) Anda salah. Saya percaya Anda mengintegrasikan log (X1) yang saya katakan yang kami dapatkan setelah integrasi itu sendiri.

@ Salam: pengujian menggunakan R, jelas bagi saya itu

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ sudah benar untuk

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$ . Saya juga telah memperluas integral untuk menunjukkan bagaimana ini diperoleh. Jadi yang mana

P (X_{2})

$P(X_2)$ apakah menurut Anda salah?

— Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Terima kasih Henry. Tapi saya pikir apa yang Anda lakukan benar, namun marjinal X2 akan menjadi

l n (X_{1})

$ln(X_1)$ tanpa batas.

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$ begitu

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$ , yang berarti tidak bisa menjadi fungsi kepadatan atau distribusi. Dan saya masih berpikir

X_{1}

$X_1$ seharusnya tidak muncul dalam distribusi marjinal

X_{2}

$X_2$ . en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution mengatakan hal yang sama dalam "Distribusi variabel marginal (distribusi marginal) diperoleh dengan memarginalkan distribusi variabel yang dibuang, dan variabel yang dibuang dikatakan telah dipinggirkan. . "

— Henry