Properti invarian dari MLE: berapakah MLE dari normal, ?

Properti invarian dari MLE: jika adalah MLE dari , maka untuk fungsi apa pun , MLE dari adalah . $\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

Juga, harus berupa fungsi satu-ke-satu.$f$

Buku itu berkata, "Misalnya, untuk memperkirakan , kuadrat dari rata-rata normal, pemetaannya tidak satu-ke-satu." Jadi, kami tidak dapat menggunakan properti invarian.${\theta}^2$

Tapi kemudian, itu membuktikan properti dan berkata, "kita sekarang melihat bahwa MLE dari , kuadrat dari rata-rata normal adalah ".$\theta^2$$\bar{x}^2$

Ini tampaknya saling bertentangan, kita mengkuadratkan , tetapi kuadrat apa pun tidak satu-ke-satu, apa yang salah saya baca di sini? Terima kasih!$\bar{x}$

sumber: Casella & Berger "Statistik Inferensi"

Bukan itu yang dikatakan Casella dan Berger. Mereka mengakui (halaman 319) bahwa ketika transformasi adalah satu-ke-satu bukti properti invarian sangat sederhana. Tetapi kemudian mereka memperluas properti invarian ke transformasi sewenang-wenang dari parameter yang memperkenalkan fungsi kemungkinan yang diinduksi pada halaman 320. Teorema 7.2.10 pada halaman yang sama memberikan bukti properti yang diperluas. Karenanya, tidak ada kontradiksi di sini.

Dari halaman 350 "Probabilitas dan Statistik Inferensi" :