Estimator tidak sesuai untuk yang lebih kecil dari dua variabel acak

13

Misalkan dan $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Saya tertarik pada . Apakah ada estimator yang tidak bias untuk ? $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

Estimator sederhana dari $\min(\bar{x}, \bar{y})$ mana $\bar{x}$ dan $\bar{y}$ adalah sampel rata-rata $X$ dan $Y$ , misalnya, bias (meskipun konsisten). Ia cenderung melakukan undershoot $z$ .

Saya tidak bisa memikirkan estimator yang tidak bias untuk $z$ . Apakah ada?

Terima kasih atas bantuannya.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
sumber

8

Ini hanya beberapa komentar bukan jawaban (tidak memiliki cukup poin.)

(1) Ada rumus eksplisit untuk bias penaksir sederhana sini: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, Mar-Apr. Yang terbesar dari satu set variabel acak terbatas. Riset Operasi 9 (2): 145–162.

Tidak yakin bagaimana ini bisa membantu

(2) Ini hanya intuisi, tapi saya pikir estimator seperti itu tidak ada. Jika ada penaksir seperti itu, ia juga harus tidak bias ketika . Jadi setiap 'penurunan' yang membuat penaksir kurang dari mengatakan rata-rata tertimbang dari dua sampel berarti membuat penaksir bias untuk kasus ini. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Atau Zuk
sumber

1

bisa dibayangkan, koreksi apa pun bisa berakhir dengan rata-rata nol untuk kasus ini.

— kardinal

Hanya untuk memperjelas, saya tidak mengklaim saya percaya ada penaksir yang tidak bias. Bahkan, saya setuju ada kemungkinan tidak .

— kardinal

1

Ya setuju - ini hanya intuisi. Makalah berikut ini memberikan kondisi untuk keberadaan penaksir tidak bias untuk fungsi rata-rata gaussian univariat - mungkin dapat diperluas ke multivariat: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— Atau Zuk

Mengetahui bias dapat membantu, Anda dapat memperbaikinya untuk mendapatkan penaksir yang tidak bias. Saya benar-benar turun rute ini, tetapi menghitung bias yang tepat mengharuskan Anda memiliki dan - yang tidak kita . Jadi secara alami saya mencoba menggunakan sampel berarti untuk melihat apa yang terjadi. Tampaknya tidak membantu. Dalam simulasi, estimator yang dikoreksi juga menunjukkan bias. Saya condong ke arah penaksir yang tidak bias, tetapi saya belum menemukan bukti yang bagus untuk itu.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam

5

Anda benar bahwa penaksir tidak bias tidak ada. Masalahnya adalah bahwa parameter yang menarik bukan fungsi yang halus dari distribusi data yang mendasarinya karena tidak dapat dibedakannya pada . $\mu_x=\mu_y$

Buktinya adalah sebagai berikut. Biarkan menjadi penduga yang tidak bias. Kemudian . Sisi kiri dapat dibedakan di mana-mana sehubungan dengan dan (berdiferensiasi di bawah tanda integral). Namun, sisi kanan tidak dapat dibedakan pada $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , yang mengarah pada kontradiksi.

Hirano dan Porter memiliki bukti umum dalam makalah Econometrica yang akan datang (lihat Proposisi mereka 1). Ini adalah versi kertas kerja:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— pengguna8817
sumber

Sangat bagus! Terima kasih telah menindaklanjuti pertanyaan ini.

— Whuber

1

Ada estimator untuk minimum (atau maksimum) dari satu set angka yang diberikan sampel. Lihat Laurens de Haan, "Perkiraan fungsi minimum menggunakan statistik pesanan," JASM, 76 (374), Juni 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
sumber

Sayangnya saya tidak berpikir kertas yang Anda kutip mengatasi masalah ini. Makalah ini membahas ketika Anda memiliki satu set variabel non stokastik A, dan menemukan elemen terkecil dalam A melalui pengambilan sampel. Dalam konteks masalah ini, setiap elemen dalam A akan menjadi variabel acak, dan di situlah letak kicker. Anda harus menemukan estimator yang tidak bias dari rata-rata variabel acak terkecil dalam A.

— pazam

0

Saya cukup yakin penaksir tidak bias tidak ada. Tetapi penaksir yang tidak memihak tidak ada untuk sebagian besar kuantitas, dan ketidakberpihakan pada dasarnya bukan properti yang diinginkan. Mengapa kamu ingin satu di sini?

Y

$Y$

Y

$Y$