Rasio Kemungkinan untuk distribusi Eksponensial dua sampel

Membiarkan $X$ dan menjadi dua variabel acak independen dengan masing-masing pdf: $Y$

f (x; θ_{i}) = {\begin{cases} \frac{1}{θ_{i}} e^{- x / θ_{i}} 0 < x < \infty, 0 < θ_{i} < \infty \\ 0 elsewhere \end{cases}

$f \left(x;\theta_i \right) =\begin{cases} \frac{1}{\theta_i} e^{-x/ {\theta_i}} \quad 0<x<\infty, 0<\theta_i< \infty \\ 0 \quad \text{elsewhere} \end{cases}$

untuk . Dua sampel indepedent diambil untuk menguji terhadap dengan ukuran dan dari distribusi ini. Saya perlu menunjukkan bahwa LRT dapat ditulis sebagai fungsi statistik yang memiliki distribusi , di bawah . $i=1,2$ $H_0: \theta_1 =\theta_2$ $H_1 : \theta_1 \neq \theta_2$ $n_1$ $n_2$ $\Lambda$ $F$ $H_0$

Karena tumpukan distribusi ini adalah , statistik LRT menjadi (saya melewatkan beberapa langkah yang membosankan di sini): $\hat{\theta}=\bar{x}$

Λ = \frac{{\bar{x}}^{n_{1}} {\bar{y}}^{n_{2}} (n_{1} + n_{2})}{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}}

$\Lambda =\frac{\bar{x}^{n_1} \bar{y}^{n_2} \left( n_1+n_2 \right)}{n_1 \bar{x}+n_2 \bar{y}}$

Saya tahu bahwa distribusi didefinisikan sebagai hasil bagi dari dua variabel acak chi-square independen, masing-masing atas derajat kebebasan masing-masing. Selain itu, karena bawah nol, lalu dan . $F$ $X_i,Y_i \sim \Gamma \left( 1,\theta_1 \right)$ $\sum X_i \sim \Gamma \left(n_1 ,\theta_1 \right)$ $\sum Y_i \sim \Gamma \left(n_2, \theta_1 \right)$

Tetapi bagaimana saya bisa melanjutkan dari sini? Ada petunjuk?

Terima kasih.

distributions self-study likelihood-ratio

— JohnK
sumber

Petunjuk: Variabel acak eksponensial secara linier terkait dengan variabel acak dengan dua derajat kebebasan, dan dengan demikian variabel acak dengan parameter urutan secara linear terkait dengan variabel acak acak dengan derajat kebebasan .

χ^{2}

$\chi^2$

Γ

$\Gamma$

n

$n$

χ^{2}

$\chi^2$

2 n

$2n$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Saya dapat melihat bahwa . Haruskah saya melanjutkan dan mencoba memformulasi ulang fraksi saya sesuai dengan itu?

Z = \frac{2}{θ_{1}} \sum X_{i} \sim χ^{2} (2 n_{1})

$Z= \frac {2}{\theta_1} \sum X_i \sim \chi^2 \left(2n_1 \right)$

— JohnK

Mungkin Anda perlu tidak melewatkan beberapa langkah yang membosankan dan benar-benar menurunkan rasio kemungkinan dari awal bukannya melompat ke kemungkinan maksimum estimator. Ini adalah masalah tentang pengujian hipotesis, bukan tentang estimasi kemungkinan maksimum dari parameter yang tidak .

θ_{i}

$\theta_i$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Anda salah paham. Saya memiliki langkah-langkah perantara ini yang telah ditulis tetapi belum disajikan di sini. Inilah yang Anda dapatkan setelah penyederhanaan.

— JohnK

Mungkin Anda bisa mulai dengan menjelaskan kepada saya (seorang ahli non-statistik, omong-omong) apa arti T dalam LRT.

— Dilip Sarwate

Jawaban:

Jika ingatanku, tampaknya Anda telah melupakan sesuatu dalam statistik LR Anda.

Fungsi kemungkinan di bawah nol adalah

L_{H_{0}} = θ^{- n_{1} - n_{2}} \cdot \exp {- θ^{- 1} (\sum x_{i} + \sum y_{i})}

$L_{H_0} = \theta^{-n_1-n_2}\cdot \exp\left\{-\theta^{-1}\left(\sum x_i+\sum y_i\right)\right\}$

dan MLE adalah

{\hat{θ}}_{0} = \frac{\sum x_{i} + \sum y_{i}}{n_{1} + n_{2}} = w_{1} \bar{x} + w_{2} \bar{y}, w_{1} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}, w_{2} = \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}}

$\hat \theta_0 = \frac {\sum x_i+\sum y_i}{n_1+n_2} = w_1\bar x +w_2 \bar y, \;\; w_1=\frac {n_1}{n_1+n_2},\;w_2=\frac {n_2}{n_1+n_2}$

Begitu

L_{H_{0}} ({\hat{θ}}_{0}) = ({\hat{θ}}_{0})^{- n_{1} - n_{2}} \cdot e^{- n_{1} - n_{2}}

$L_{H_0}(\hat \theta_0) = (\hat \theta_0)^{-n_1-n_2}\cdot e^{-n_1-n_2}$

Di bawah alternatif, kemungkinannya adalah

L_{H_{1}} = θ_{1}^{- n_{1}} \cdot \exp {- θ_{1}^{- 1} (\sum x_{i})} \cdot θ_{2}^{- n_{2}} \cdot \exp {- θ_{2}^{- 1} (\sum y_{i})}

$L_{H_1} = \theta_1^{-n_1}\cdot \exp\left\{-\theta_1^{-1}\left(\sum x_i\right)\right\}\cdot \theta_2^{-n_2}\cdot \exp\left\{-\theta_2^{-1}\left(\sum y_i\right)\right\}$

dan MLE adalah

{\hat{θ}}_{1} = \frac{\sum x_{i}}{n_{1}} = \bar{x}, {\hat{θ}}_{2} = \frac{\sum y_{i}}{n_{2}} = \bar{y}

$\hat \theta_1 = \frac {\sum x_i}{n_1} = \bar x, \qquad \hat \theta_2 = \frac {\sum y_i}{n_2} = \bar y$

Begitu

{L.}_{H_{1}} ({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2}) = ({\hat{θ}}_{1})^{- n_{1}} ({\hat{θ}}_{2})^{- n_{2}} \cdot e^{- n_{1} - n_{2}}

$L_{H_1}(\hat \theta_1,\,\hat \theta_2) = (\hat \theta_1)^{-n_1}(\hat \theta_2)^{-n_2}\cdot e^{-n_1-n_2}$

Pertimbangkan rasionya

\frac{{L.}_{H_{1}} ({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2})}{{L.}_{H_{0}} ({\hat{θ}}_{0})} = \frac{({\hat{θ}}_{0})^{n_{1} + n_{2}}}{({\hat{θ}}_{1})^{n_{1}} ({\hat{θ}}_{2})^{n_{2}}} = {(\frac{{\hat{θ}}_{0}}{{\hat{θ}}_{1}})}^{n_{1}} \cdot {(\frac{{\hat{θ}}_{0}}{{\hat{θ}}_{2}})}^{n_{2}}

$\frac {L_{H_1}(\hat \theta_1,\,\hat \theta_2)}{L_{H_0}(\hat \theta_0)} = \frac {(\hat \theta_0)^{n_1+n_2}}{(\hat \theta_1)^{n_1}(\hat \theta_2)^{n_2}}=\left(\frac {\hat \theta_0}{\hat \theta_1}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac {\hat \theta_0}{\hat \theta_2}\right)^{n_2}$

= {(w_{1} + w_{2} \frac{\bar{y}}{\bar{x}})}^{n_{1}} \cdot {(w_{1} \frac{\bar{x}}{\bar{y}} + w_{2})}^{n_{2}}

$= \left(w_1 + w_2 \frac {\bar y}{\bar x}\right)^{n_1} \cdot \left(w_1\frac {\bar x}{\bar y} + w_2 \right)^{n_2}$

Sampel berarti independen - jadi saya percaya Anda sekarang dapat menyelesaikan ini.

— Alecos Papadopoulos
sumber

Ini tidak terlalu penting tetapi saya pikir Anda harus mendefinisikan LRT sebagai kebalikan dari fraksi yang Anda gunakan, lihat stats.ox.ac.uk/ ~ dlunn/b8_02/b8pdf_8.pdf .

— JohnK

Timbal balik digunakan karena membantu dengan manipulasi aljabar. Ketika bagian ini selesai, orang hanya mengambil kekuatan negatif dari luar.

— Alecos Papadopoulos

Baik. Untuk menunjukkan fraksi itu

\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}

$\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}$ mengikuti distribusi-F, cukup untuk menuliskannya sebagai

\frac{\frac{2 \sum X_{i}}{2 θ_{1} n_{1}}}{\frac{2 \sum Y_{i}}{2 θ_{1} n_{2}}}

$\frac{\frac{2\sum X_i}{2 \theta_1 n_1}}{\frac{2\sum Y_i}{2 \theta_1 n_2 }}$ , Baik?

— JohnK

Jika itu "tautan" yang benar antara gammas dan chi-square, memang.

— Alecos Papadopoulos

Iya,

\frac{2}{θ_{1}} \sum X_{i} \sim χ^{2} (2 n_{1})

$\frac{2}{\theta_1} \sum X_i \sim \chi^2 \left( 2n_1 \right)$ Dan kita juga harus membaginya dengan derajat kebebasan,

2 n_{1}

$2n_1$ . Terima kasih banyak.

— JohnK

Fungsi kemungkinan diberikan sampel $\mathbf x=(x_1,\ldots,x_{n_1},y_1,\ldots,y_{n_2})$ diberikan oleh

\begin{aligned} L (θ_{1}, θ_{2}) & = \frac{1}{θ_{1}^{n_{1}} θ_{2}^{n_{2}}} \exp [- \frac{1}{θ_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} x_{i} - \frac{1}{θ_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} y_{i}] 1_{x > 0}, θ_{1}, θ_{2} > 0 \end{aligned}

$\begin{align} L(\theta_1,\theta_2)&=\frac{1}{\theta_1^{n_1}\theta_2^{n_2}}\exp\left[-\frac{1}{\theta_1}\sum_{i=1}^{n_1} x_i-\frac{1}{\theta_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_i\right]\mathbf1_{\mathbf x>0}\quad,\,\theta_1,\theta_2>0 \end{align}$

Kriteria uji LR untuk pengujian $H_0:\theta_1=\theta_2$ melawan $H_1:\theta_1\ne \theta_2$ berbentuk

\begin{aligned} λ (x) & = \frac{sup_{θ_{1} = θ_{2}} L (θ_{1}, θ_{2})}{sup_{θ_{1}, θ_{2}} L (θ_{1}, θ_{2})} = \frac{L (\hat{θ}, \hat{θ})}{L ({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \lambda(\mathbf x)&=\frac{\sup\limits_{\theta_1=\theta_2}L(\theta_1,\theta_2)}{\sup\limits_{\theta_1,\theta_2}L(\theta_1,\theta_2)} =\frac{L(\hat\theta,\hat\theta)}{L(\hat\theta_1,\hat\theta_2)} \end{align}$

dimana $\hat\theta$ adalah MLE dari $\theta_1=\theta_2$ (dibawah $H_0$ ), dan $\hat\theta_i$ adalah MLE tidak dibatasi dari $\theta_i$ untuk $i=1,2$ .

Mudah diverifikasi itu

({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2}) = (\bar{x}, \bar{y})

$(\hat\theta_1,\hat\theta_2)=(\bar x,\bar y)$

dan

\hat{θ} = \frac{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}}{n_{1} + n_{2}}

$\hat\theta=\frac{n_1\bar x+n_2\bar y}{n_1+n_2}$

Setelah penyederhanaan, kami mendapatkan simetri ini untuk kriteria LRT:

\begin{aligned} λ (x) & = \underset{> 0}{\underset{⏟}{constant}} {(\frac{n_{1} \bar{x}}{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}})}^{n_{1}} {(\frac{n_{2} \bar{y}}{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}})}^{n_{2}} \\ = constant \cdot t^{n_{1}} (1 - t_{1})^{n_{2}}, where t = \frac{n_{1} \bar{x}}{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}} \\ = g (t), say \end{aligned}

$\begin{align} \lambda(\mathbf x)&=\underbrace{\text{constant}}_{>0}\left(\frac{n_1\bar x}{n_1\bar x+n_2\bar y}\right)^{n_1}\left(\frac{n_2\bar y}{n_1\bar x+n_2\bar y}\right)^{n_2} \\&=\text{constant}\cdot\,t^{n_1}(1-t_1)^{n_2}\qquad,\text{ where }t=\frac{n_1\bar x}{n_1\bar x+n_2\bar y} \\&=g(t)\quad,\,\text{say} \end{align}$

Mempelajari sifat fungsi $g$ , kita lihat itu

g^{'} (t) ≷ 0 ⟺ t ≶ \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}

$g'(t)\gtrless 0\iff t\lessgtr \frac{n_1}{n_1+n_2}$

Sekarang sejak $2n_1\overline X/\theta_1\sim \chi^2_{2n_1}$ dan $2n_2\overline Y/\theta_2\sim \chi^2_{2n_2}$ didistribusikan secara independen, kami punya

\frac{\bar{X}}{\bar{Y}} \overset{H_{0}}{\sim} F_{2 n_{1}, 2 n_{2}}

$\frac{\overline X}{\overline Y}\stackrel{H_0}{\sim}F_{2n_1,2n_2}$

Menetapkan

v = \frac{n_{1} \bar{x}}{n_{2} \bar{y}}

$v=\frac{n_1\overline x}{n_2\overline y}$

, maka

t = \frac{v}{v + 1} ↑ v

$t=\frac{v}{v+1}\quad\uparrow\, v$

Karena itu,

λ (x) < c ⟺ v < c_{1} or v > c_{2}

$\lambda(\mathbf x)<c \iff v<c_1\quad\text{ or }\quad v>c_2$

dimana $c_1,c_2$ dapat ditemukan dari beberapa batasan ukuran dan fakta bahwa, di bawah $H_0$ ,

\frac{n_{2}}{n_{1}} v \sim F_{2 n_{1}, 2 n_{2}}

$\frac{n_2}{n_1}v\sim F_{2n_1,2n_2}$

— StubbornAtom
sumber