Urutan matriks yang Anda rujuk dikenal sebagai urutan Loewner dan merupakan urutan parsial yang banyak digunakan dalam studi matriks pasti positif. Perlakuan panjang buku dari geometri pada berbagai matriks positif-pasti (posdef) ada di sini .
Pertama-tama saya akan mencoba menjawab pertanyaan Anda tentang intuisi . A (simetris) matriks A adalah posdef jika cTAc≥0 untuk semua c∈Rn . Jika X adalah variabel acak (rv) dengan matriks kovarian A , maka adalah (sebanding dengan) proyeksi pada beberapa subruang satu-redup, dan . Menerapkan ini ke di Q Anda, pertama: itu adalah matriks kovarians, kedua: Variabel acak dengan proyek-proyek matriks kovar di semua arahcTXVar(cTX)=cTAcA−BBAdengan varians lebih kecil dari rv dengan kovarians matriks . Ini membuatnya secara intuitif jelas bahwa pemesanan ini hanya bisa sebagian, ada banyak rv yang akan diproyeksikan ke arah yang berbeda dengan varian yang sangat berbeda. Proposal Anda tentang beberapa norma Euclidean tidak memiliki interpretasi statistik yang alami.A
"Contoh membingungkan" Anda membingungkan karena kedua matriks memiliki nol penentu. Jadi untuk masing-masing, ada satu arah (vektor eigen dengan nilai eigen nol) di mana mereka selalu memproyeksikan ke nol . Tetapi arah ini berbeda untuk kedua matriks, oleh karena itu mereka tidak dapat dibandingkan.
Urutan Loewner didefinisikan sedemikian rupa sehingga , lebih pasti positif daripada , jika adalah posdef. Ini adalah urutan parsial, untuk beberapa matriks posdef, baik maupun tidak posdef. Contohnya adalah:
Salah satu cara menunjukkan ini secara grafis adalah menggambar plot dengan dua elips, tetapi berpusat pada asal, terkait dengan cara standar dengan matriks (maka jarak radial di setiap arah sebanding dengan varian memproyeksikan ke arah itu):A⪯BBAB−AB−AA−BA=(10.50.51),B=(0.5001.5)
Dalam kasus ini, kedua elips itu kongruen, tetapi diputar secara berbeda (sebenarnya sudutnya 45 derajat). Ini sesuai dengan fakta bahwa matriks danAB memiliki nilai eigen yang sama, tetapi vektor eigen diputar.
Karena jawaban ini sangat tergantung pada sifat elips, berikut ini Apa intuisi di balik distribusi Gaussian bersyarat? menjelaskan elips secara geometris, dapat membantu.
Sekarang saya akan menjelaskan bagaimana elips yang terkait dengan matriks didefinisikan. Matriks posdef mendefinisikan bentuk kuadratik . Ini dapat diplot sebagai fungsi, grafik akan menjadi kuadratik. Jika maka grafik akan selalu berada di atas grafik . Jika kita memotong grafik dengan bidang horizontal pada ketinggian 1, maka potongan akan menggambarkan elips (yang sebenarnya cara mendefinisikan elips). dipotong ini diberikan oleh persamaan
AQA(c)=cTAcA⪯BQBQAQA(c)=1,QB(c)=1
dan kita melihat bahwaA⪯Bsesuai dengan elips B (sekarang dengan interior) terkandung dalam elips A. Jika tidak ada pesanan, tidak akan ada penahanan. Kami mengamati bahwa urutan inklusi berlawanan dengan urutan parsial Loewner, jika kami tidak suka bahwa kami dapat menggambar elips dari invers. Ini karena setara dengan . Tapi saya akan tetap dengan elips seperti yang didefinisikan di sini.A⪯BB−1⪯A−1
Elips dapat digambarkan dengan semiax dan panjangnya. Kita hanya akan membahas angka di sini, karena mereka adalah yang dapat kita gambar ... Jadi kita membutuhkan dua sumbu utama dan panjangnya. Ini dapat ditemukan, seperti dijelaskan di sini dengan komposisi eigend dari matriks posdef. Kemudian sumbu utama diberikan oleh vektor eigen, dan panjangnya dapat dihitung dari nilai eigen dengan
Kita juga dapat melihat bahwa area elips yang mewakili adalah2×2a , b λ 1 , λ 2 a = √a,bλ1,λ2a=1/λ1−−−−√,b=1/λ2−−−−√.
Aπab=π1/λ1−−−−√1/λ2−−−−√=πdetA√ .
Saya akan memberikan satu contoh terakhir di mana matriks dapat dipesan:
Dua matriks dalam kasus ini adalah:
A=(2/31/51/53/4),B=(11/71/71)
a
danb
, jikaa-b
positif maka kami akan mengatakan bahwa setelah menghapus variabilitasb
keluar daria
sana tetap ada beberapa variabilitas "nyata" yang tersisaa
. Demikian juga kasus varians multivariat (= matriks kovarians)A
danB
. JikaA-B
positif pasti maka itu berarti bahwaA-B
konfigurasi vektor "nyata" dalam ruang euclidean: dengan kata lain, setelah mengeluarkanB
dariA
, yang terakhir masih merupakan variabilitas yang layak.