Geometri Aljabar untuk Statistik

Saya telah mendengar tentang penggunaan Geometri Aljabar dalam Statistik dan Pembelajaran Mesin. Saya ingin mencoba belajar sedikit tentang topik ini. Saya hampir tidak tahu apa-apa tentang Aljabar Geometri, tetapi saya memiliki latar belakang dalam matematika, dan saya tahu tentang teori kelompok dasar, bidang cincin dan beberapa aljabar komutatif. Pertanyaan saya adalah:

1. Apa saja konsep Geometris Algebriac yang harus saya pelajari yang terhubung ke aplikasi di Stats / ML (Saya kira hanya sebagian dari apa yang biasanya diajarkan dalam kursus dan buku Algebraic Geometric berguna).

2. Bisakah Anda merekomendasikan beberapa buku / makalah pengantar untuk seseorang dengan latar belakang saya? Saya tidak bermaksud buku teks standar untuk AG tetapi sesuatu yang berfokus pada konsep yang digunakan dalam aplikasi.

Berikut adalah daftar referensi standar:

• Drton, Sturmfels, dan Sullivant, Kuliah tentang Statistik Aljabar
• Pachter, Sturmfels, Statistik Aljabar untuk Biologi Komputasi
• Pistone, Riccomagno, Wynn, Statistik Aljabar: Aljabar Komutatif Komputasi dalam Statistik
• Sullivant, Statistik Aljabar
• Zwiernik, Statistik Semialgebraic dan Model Pohon Laten
• Riccomagno, Sejarah Singkat Statistik Aljabar

Berikut adalah daftar referensi terkait, tidak secara langsung membahas statistik aljabar, meskipun memberikan latar belakang dalam metodologi yang digunakan untuk subjek:

• Lauritzen, Model Grafis
• Lauritzen, Aljabar Abstrak Beton
• Mutiara, Kausalitas: Model, Penalaran, dan Inferensi
• Cox, Little, O'Shea, Cita-Cita, Varietas, dan Algoritma: Pengantar Geometri Aljabar Komputasi dan Aljabar Komutatif
• Garrity, Belshoff, Boos, et al, Aljabar Geometri: Suatu Pendekatan Pemecahan Masalah
• Sturmfels, Memecahkan Sistem Persamaan Polinomial
• Uhler, Geometri Estimasi Kemungkinan Maksimum dalam Model Grafis

Halaman web kursus tentang topik, dulu dan sekarang:

• Kursus Profesor Sturmfels di Berkeley
• Kursus di TU Berlin
• Seminar di Freie Universität, Berlin
• Konferensi di Universitas Genoa
• Seminar Statistik Aljabar Berkeley

Daftar-daftar ini hampir pasti tidak lengkap.

• Sumio Watanabe, Teori Aljabar Geometri dan Statistik , Cambridge University Press, Cambridge, Inggris, 2009.

Tentu akan berpengaruh, buku ini meletakkan dasar untuk penggunaan geometri aljabar dalam teori pembelajaran statistik. Banyak model statistik dan mesin pembelajaran yang digunakan untuk ilmu informasi memiliki ruang parameter yang tunggal: model campuran, jaringan saraf, HMM, jaringan Bayesian, dan tata bahasa bebas konteks stokastik adalah contoh utama. Teori geometri aljabar dan singularitas menyediakan alat yang diperlukan untuk mempelajari model yang tidak mulus tersebut. Empat formula utama ditetapkan:

1. fungsi log likelihood dapat diberikan bentuk standar umum menggunakan resolusi singularitas, bahkan diterapkan pada model yang lebih kompleks;

2. perilaku asimptotik dari kemungkinan marginal atau 'bukti' diturunkan berdasarkan teori fungsi zeta;

3. metode baru diturunkan untuk memperkirakan kesalahan generalisasi dalam estimasi Bayes dan Gibbs dari kesalahan pelatihan;

4. kesalahan generalisasi dari kemungkinan maksimum dan metode posteriori diklarifikasi oleh teori proses empiris pada varietas aljabar.