Apa arti intuitif di balik tujuan dan mekanisme Statistik yang Memadai?

Definisi statistik yang memadai adalah: Biarkan $X_1,...,X_n$ menjadi sampel acak dari distribusi yang diindeks oleh parameter $\theta$. Membiarkan$T$menjadi statistik. Misalkan, untuk setiap$\theta$ dan setiap nilai yang mungkin $t$ dari $T$, distribusi bersama bersyarat dari $X_1,...,X_n$ mengingat bahwa $T=t$ hanya bergantung pada $t$ tapi tidak menyala $\theta$. Kemudian,$T$ adalah statistik yang cukup untuk parameter $\theta$.

Saya merasa seperti saya tahu beberapa bagian dari teka-teki (seperti teorema faktorisasi) untuk memahami statistik yang cukup tetapi tidak memiliki teori secara keseluruhan.

Pertanyaan utama saya adalah:

1) Mengapa mereka mengatakan itu $T$adalah statistik yang cukup untuk parameter$\theta$? Jika$\theta$ adalah rata-rata populasi dari distribusi normal, katakanlah $\mu$, apakah itu berarti bahwa kapan saja kita ingin menemukan probabilitas, katakanlah, $X_1,...,X_n$ terjadi dengan cara tertentu, bahwa kita tidak membutuhkan nilai rata-rata populasi?

2) Dalam kehidupan nyata, mengapa kita ingin menggunakan statistik yang cukup? Apakah sepertinya hanya menghitung statistik saja seharusnya tidak terlalu banyak (seperti jumlah X) jadi mengapa kita membutuhkannya?

Terima kasih!

1. Tidak. Apa yang mereka katakan adalah jika $X_1^\prime,\dots,X_n^\prime$ adalah sampel acak lain dari populasi yang sama dengan data asli $X_1,\dots,X_n$, mengandung jumlah informasi probabilistik yang sama tentang $\theta$. Oleh karena itu, kami dapat "memulihkan data" jika kami menyimpannya$T$ dan buang $X_1,\dots,X_n$. Itu sebabnya$T$ "memadai".

2. Pengurangan data. Jika$T$ memadai, "informasi tambahan" yang dibawa oleh $X$tidak berharga selama yang bersangkutan. Maka wajar untuk mempertimbangkan prosedur inferensi yang tidak menggunakan informasi tambahan yang tidak relevan ini. Ini mengarah pada Prinsip Kecukupan: Setiap prosedur inferensi harus bergantung pada data hanya melalui statistik yang memadai.$θ$

Lihat di sini untuk detail lebih lanjut tentang prinsip-prinsip yang terlibat dalam pengurangan data.