Kemungkinan untuk menggambar bola hitam dalam satu set bola hitam dan putih dengan kondisi penggantian campuran

Ketika bola hitam ditarik, itu tidak diganti dalam set, tetapi bola putih diganti.

Saya telah memikirkan hal ini, dengan notasi:

$b$ , jumlah awal bola hitam dan putih $w$
$x_i = (b - i)/(b + w - i)$

Probabilitas menggambar bola hitam $Pb(n)$ setelah n menarik:

\begin{aligned} P b (0) & = x_{0} \\ P b (1) & = (1 - x_{0}) x_{0} + x_{0} x_{1} \\ P b (2) & = (1 - x_{0})^{2} x_{0} + x_{0} x_{1} (1 - x_{0}) + x_{0} x_{1} (1 - x_{1}) + x_{0} x_{1} x_{2} \\ P b (n) & = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\prod_{i = 0}^{k} x_{i} \prod_{i <= k}^{n - k t e r m s} 1 - x_{i}) \end{aligned}

$\eqalign{ Pb(0) &= x_0\\ Pb(1) &= (1-x_0)x_0 + x_0x_1\\ Pb(2) &= (1-x_0)^2x_0 + x_0x_1(1-x_0)+ x_0x_1(1-x_1) + x_0x_1x_2 \\ Pb(n) &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (\prod\limits_{i=0}^k x_i \prod\limits_{i<=k}^{n-k\ terms} 1-x_i) }$

Jumlah ini tampaknya tidak terbatas dengan n, bahkan jika beberapa istilah adalah nol karena $x_{i \ge b}=0$

Kecuali $b=1$ :
$Pb(n) = (1-x_0)^nx_0$

Untuk $b=2$ :
$Pb(n)= x_0(1-x_1)^n + x_0x_1\sum\limits_{i+j=n-1} (1-x_0)^i(1-x_1)^j$

Apakah ada solusi yang diketahui untuk masalah ini?

conditional-probability randomness

— caub
sumber

Biarkan jumlah awal bola putih menjadi dan bola hitam menjadi . Pertanyaannya menjelaskan rantai Markov yang statusnya diindeks oleh kemungkinan jumlah bola hitam Probabilitas transisi adalah $w$ $b$ $i \in \{0, 1, 2, \ldots, b\}.$

p_{w} (i, i) = \frac{w}{w + i}, p_{w} (i, i - 1) = \frac{i}{w + i} .

$p_w(i, i) = \frac{w}{w+i}, \quad p_w(i,i-1) = \frac{i}{w+i}.$

Yang pertama menggambarkan menggambar bola putih, dalam hal ini tidak berubah, dan yang kedua menggambarkan menggambar bola hitam, dalam hal ini dikurangi dengan . $i$ $i$ $1$

Mulai sekarang, mari kita letakkan subskrip eksplisit " ," dengan mengambil nilai ini sebagai diperbaiki. Nilai eigen dari matriks transisi adalah $w$ $\mathbb{P}$

e = (\frac{w}{w + b - i}, i = 0, 1, \dots, b)

$\mathbf{e} = \left(\frac{w}{w+b-i},\ i = 0, 1, \ldots, b\right)$

sesuai dengan matriks diberikan oleh $\mathbb{Q}$

q_{i j} = (- 1)^{i + j + b} (j + w) (\binom{b}{j}) w^{j - b} (\binom{b - j}{i}) (b - i + w)^{b - j - 1}

$q_{ij} = (-1)^{i+j+b} (j+w) \binom{b}{j} w^{j-b} \binom{b-j}{i} (b-i+w)^{b-j-1}$

kebalikannya adalah

(q^{- 1})_{i j} = \frac{w^{b - i} (\binom{j}{b - i}) (b - j + w)^{i - b}}{(\binom{b}{b - i})} .

$(q^{-1})_{ij} = \frac{w^{b-i} \binom{j}{b-i} (b-j+w)^{i-b}}{\binom{b}{b-i}}.$

Itu adalah,

P = Q Diagonal (e) Q^{- 1} .

$\mathbb{P} = \mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e})\ \mathbb{Q}^{-1}.$

Akibatnya distribusi setelah transisi keluar dari negara diberikan oleh vektor probabilitas $n$ $b$

p_{n} = (0, 0, \dots, 0, 1) P^{n} = (0, 0, \dots, 0, 1) Q Diagonal (e^{n}) Q^{- 1} .

$\mathbf{p}_n = (0,0,\ldots,0,1) \mathbb{P}^n = (0,0,\ldots,0,1)\mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e}^n)\ \mathbb{Q}^{-1}.$

Artinya, kesempatan ada bola hitam kiri setelah menarik adalah $i$ $n$

p_{n i} = \sum_{j = 0}^{b} q_{n j} e_{j}^{n} (q^{- 1})_{j i} .

$p_{ni} = \sum_{j=0}^b q_{nj} e_j^n (q^{-1})_{ji}.$

Misalnya, dimulai dengan jumlah bola putih dan bola hitam, distribusi probabilitas setelah menarik adalah $b=2$ $n \ge 1$

\begin{aligned} Pr (i = 2) & = p_{n 2} & = \frac{w^{n}}{(2 + w)^{n}} \\ Pr (i = 1) & = p_{n 1} & = \frac{2 w^{n - 1}}{(1 + w)^{n - 1}} - \frac{2 w^{n - 1} (1 + w)}{(2 + w)^{n}} \\ Pr (i = 0) & = p_{n 0} & = 1 - \frac{2 w^{n - 1}}{(1 + w)^{n - 1}} + \frac{w^{n - 1}}{(2 + w)^{n - 1}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(i=2) &= p_{n2} &= \frac{w^n}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=1) &= p_{n1} &= \frac{2w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} - \frac{2 w^{n-1}(1+w)}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=0) &= p_{n0} &= 1 - \frac{2 w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} + \frac{w^{n-1}}{(2+w)^{n-1}}. }$

Angka

Kurva pada gambar ini melacak probabilitas kondisi (biru), (merah), dan (emas) sebagai fungsi dari jumlah draw ketika ; yaitu, guci dimulai dengan dua bola hitam dan lima bola putih. $i=0$ $i=1$ $i=2$ $n$ $w=5$

Keadaan (kehabisan bola hitam) adalah keadaan menyerap : dalam batas ketika tumbuh tanpa batas, kemungkinan kondisi ini mendekati kesatuan (tetapi tidak pernah benar-benar mencapai itu). $i=0$ $n$

— whuber
sumber

sangat bagus, jadi (untuk b = 2) kemungkinan untuk menggambar hitam setelah n menarik, adalah Pr (i = 2) * 2 / (w + 2) + Pr (i = 1) * 1 / (w + 1) ? dimensi matriks adalah bxb, benar? dan Pr (i) adalah pii?

— caub

Saya menjatuhkan subskrip dalam rumus akhir, jadi adalah misalnya. Matriks memiliki dimensi oleh .

n

$n$

Pr (i = 2)

$\Pr(i=2)$

p_{n 2},

$p_{n2},$

b + 1

$b+1$

b + 1

$b+1$

— whuber