Apakah fungsi tautan kanonik selalu ada untuk Generalized Linear Model (GLM)?

Dalam GLM, dengan asumsi skalar dan untuk distribusi dasar dengan pdf Dapat ditunjukkan bahwa . Jika fungsi tautan memenuhi berikut ini, mana adalah prediktor linier, maka disebut fungsi tautan kanonik untuk ini model. $Y$ $\theta$

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$

X^{'} β

$X'\beta$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

Pertanyaan saya adalah, apakah fungsi tautan kanonik selalu ada untuk GLM? Dengan kata lain, bisakah selalu terbalik? Apa kondisi yang diperlukan agar fungsi tautan kanonik ada? $A'(\theta)$

generalized-linear-model exponential-family

— Wei
sumber

$A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Karena varians dan parameter dispersi tidak nol (dan bahkan positif) adalah fungsi yang sangat meningkat dan harus dapat dibalik. $A'(\theta)$

Namun, saya tidak yakin apakah ada distribusi keluarga ini yang memiliki varian tak terbatas. Saya tidak dapat menemukan contoh seperti itu.

— Vainius
sumber