Apa sebenarnya yang disebut "komponen utama" dalam PCA?

Misalkan adalah vektor yang memaksimalkan varians dari proyeksi data dengan desain matrix X .$u$$X$

Sekarang, saya telah melihat materi yang merujuk sebagai komponen utama (pertama) dari data, yang juga merupakan vektor eigen dengan nilai eigen terbesar.$u$

Namun, saya juga telah melihat bahwa komponen utama dari data tersebut .$X u$

Jelas, dan dan X u adalah hal yang berbeda. Adakah yang bisa membantu saya di sini dan memberi tahu saya apa perbedaan antara kedua definisi komponen utama ini?$u$$Xu$

Anda benar-benar benar dalam mengamati bahwa meskipun (salah satu vektor eigen dari matriks kovarians, misalnya yang pertama) dan X u (proyeksi data ke subruang 1-dimensi yang direntang oleh u ) adalah dua hal yang berbeda, baik dari mereka sering disebut "komponen utama", kadang-kadang bahkan dalam teks yang sama.$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$$\mathbf{u}$

Dalam kebanyakan kasus, jelas dari konteks apa sebenarnya yang dimaksud. Dalam beberapa kasus yang jarang terjadi, namun, memang bisa cukup membingungkan, misalnya ketika beberapa teknik terkait (seperti jarang PCA atau CCA) yang dibahas, di mana arah yang berbeda tidak harus ortogonal. Dalam hal ini pernyataan seperti "komponen bersifat ortogonal" memiliki arti yang sangat berbeda tergantung pada apakah itu mengacu pada sumbu atau proyeksi.$\mathbf{u}_i$

Saya akan menganjurkan memanggil a "sumbu utama" atau "arah kepala", dan X u "komponen utama".$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

Saya juga melihat disebut "vektor komponen utama".$\mathbf u$

Saya harus menyebutkan bahwa konvensi alternatif adalah memanggil "komponen utama" dan X u "skor komponen utama".$\mathbf u$$\mathbf{Xu}$

Ringkasan dari dua konvensi:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

---

Catatan: Hanya vektor eigen dari matriks kovarians yang sesuai dengan nilai eigen non-nol yang dapat disebut arah / komponen utama. Jika matriks kovarians peringkat rendah, ia akan memiliki satu atau lebih nilai eigen nol; vektor eigen yang sesuai (dan proyeksi yang sesuai adalah nol konstan) tidak boleh disebut arah / komponen utama. Lihat beberapa diskusi dalam jawaban saya di sini.