Konvergensi dalam Distribusi \ CLT

Mengingat bahwa , distr kondisional. dari adalah . memiliki distr marjinal. Poisson ( ), adalah konstanta positif. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Tunjukkan bahwa, sebagai , dalam distribusi. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Adakah yang bisa menyarankan strategi untuk menyelesaikan ini. Sepertinya kita perlu menggunakan CLT (Central Limit Theorem) tetapi tampaknya sulit untuk mendapatkan informasi tentang itu sendiri. Apakah ada rv yang dapat diperkenalkan untuk mengambil sampel, untuk menghasilkan ? $Y$ $Y$

Ini adalah pekerjaan rumah jadi isyarat dihargai.

— pengguna42102
sumber

Sepertinya hal clt bagi saya juga. Mungkin sudah jelas bagi Anda, tetapi sebagai theta-> Infinity apa yang terjadi pada N?

— PeterR

Haruskah saya melihat distribusi N? Jika saya bermain-main dengannya, sepertinya pdf akan selalu menjadi 0. Apa yang bisa saya simpulkan dari ini?

— user42102

apa yang dimaksud dengan variabel acak poisson (theta)?

— PeterR

Saya mencampuradukkan N dalam pertanyaan ini dan ukuran sampel n dalam definisi CLT. Jadi . Jadi kita melihat bahwa nilai yang diharapkan dari N mendekati tak terbatas. Saya tidak yakin harus ke mana dari sini.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Anda harus melihat distribusi kuadrat non-sentral. Membuktikan batas itu normal akan menjadi lebih rumit daripada aplikasi sederhana dari CLT yang saya khawatirkan.

— caburke

Jawaban:

Saya memberikan solusi berdasarkan sifat fungsi karakteristik, yang didefinisikan sebagai berikut Kita tahu bahwa distribusi didefinisikan secara unik oleh fungsi karakteristik, jadi saya akan membuktikan bahwa dan dari sana mengikuti konvergensi yang diinginkan.

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Untuk itu saya perlu menghitung mean dan varians , yang saya gunakan hukum ekspektasi / varian total - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . Saya menggunakan bahwa mean dan varian dari distribusi Poisson adalah dan mean dan varian adalah dan . Kini hadir kalkulus dengan fungsi karakteristik. Pada awalnya saya menulis ulang definisi sebagai $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Sekarang saya menggunakan teorema yang menyatakan Fungsi karakteristik dari adalah , yang diambil dari sini: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

Jadi sekarang kita menghitung fungsi karakteristik untuk menggunakan ekspansi Taylor untuk Pada akhirnya kita menggunakan properti fungsi karakteristik Saya melompati kalkulus karena terlalu panjang sekarang ... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
sumber

Ini dapat ditunjukkan melalui hubungan dengan distribusi dipahat noncentral. Ada artikel wikipedia yang bagus tentang apa yang akan saya rujuk secara bebas! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Anda telah memberikan bahwa didistribusikan chisquare dengan derajat kebebasan, untuk . Di sini memiliki distribusi Poisson dengan ekspektasi . $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

Maka kita memiliki fungsi kepadatan (tanpa syarat) dapat ditulis, menggunakan hukum probabilitas total, seperti Yang hampir merupakan kepadatan variabel dipahat non-pusat, kecuali derajat parameter kebebasan adalah , yang benar-benar tidak terdefinisi. (ini diberikan di bagian definisi artikel wikipedia). $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

Jadi untuk mendapatkan sesuatu yang didefinisikan dengan baik, kami mengganti rumus di atas dengan yang merupakan kepadatan variabel chisquared noncentral dengan derajat kebebasan dan parameter non-sentralitas . Jadi, dalam analisis kami, kami harus ingat untuk mengambil batas ketika setelah mengambil batas . Ini tidak bermasalah, karena dalam batas probabilitas

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ pergi ke nol, sehingga massa titik di nol menghilang (variabel chisquared dengan nol derajat kebebasan harus ditafsirkan sebagai pointmass di nol, jadi, tidak memiliki fungsi kepadatan).

Sekarang, untuk setiap tetap , gunakan hasilnya di wiki, distribusi terkait bagian, perkiraan normal, yang memberikan batas normal standar yang dicari untuk setiap . Kemudian, ambil batas ketika menjadi nol, yang memberikan hasilnya. $k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
sumber