Apakah mean dan varians selalu ada untuk distribusi keluarga eksponensial?

Asumsikan skalar variabel acak milik keluarga eksponensial vektor-parameter dengan pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

di mana ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ adalah vektor parameter dan $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ adalah statistik gabungan yang memadai.

Dapat ditunjukkan bahwa mean dan varians untuk setiap $T_i(x)$ ada. Namun, apakah mean dan varians untuk $X$ (yaitu $E(X)$ dan $Var(X)$ ) selalu ada juga? Jika tidak, adakah contoh distribusi keluarga eksponensial dari formulir ini yang rerata dan variabelnya tidak ada?

Terima kasih.

— Wei
sumber

Mengambil , , , dan memberikan asalkan , memproduksi $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Angka

Grafik ditunjukkan untuk (masing-masing dalam warna biru, merah, dan emas). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Jelas saat-saat absolut dari bobot atau lebih besar tidak ada, karena integrand , yang secara proporsional proporsional dengan , akan menghasilkan integral konvergen pada batas jika dan hanya jika . Khususnya, ketika distribusi ini bahkan tidak memiliki rata-rata (dan tentu saja bukan varian). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
sumber

Saya tidak mengerti kondisi . Apakah maksud Anda ? Ketika , tidak didefinisikan dan negatif dan tidak bisa menjadi pdf Tolong beri tahu saya apa yang saya lewatkan. Terima kasih.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

Saya minta maaf, karena tanda minus dihilangkan dalam perhitungan . Saya telah menggantinya dalam formula. Saya benar-benar bermaksud .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Terima kasih untuk contohnya Saya setuju tentang momen. Bagaimana dengan momen

itu sendiri? Misalnya, ketika

dalam contoh Anda di atas, apakah

ada?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Karena integral Lebesgue didefinisikan dalam hal bagian positif dan negatif dari integrand, momen ada jika dan hanya jika momen

ada.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei:

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$ hanya ada jika

. Tanpa batasan ini, ekspektasi tidak secara unik didefinisikan untuk beberapa CDF.

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis