Sama atau berbeda? Cara Bayesian

Katakanlah saya memiliki model berikut:

Poisson (λ) \sim {\begin{cases} λ_{1} & if t < τ \\ λ_{2} & if t \geq τ \end{cases}

$\text{Poisson}(\lambda) \sim \begin{cases} \lambda_1 & \text{if } t \lt \tau \\ \lambda_2 & \text{if } t \geq \tau \end{cases}$

Dan saya menyimpulkan posisi untuk dan ditunjukkan di bawah ini dari data saya. Apakah ada cara Bayesian memberitahu (atau mengukur) jika dan adalah sama atau berbeda ? $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

Mungkin mengukur probabilitas bahwa berbeda dari $\lambda_1$ $\lambda_2$ ? Atau mungkin menggunakan divergensi KL?

Misalnya, bagaimana saya bisa mengukur , atau setidaknya, ? $p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$ $p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

Secara umum, setelah Anda memiliki posisi di bawah ini (anggap nilai-nilai PDF tidak nol di mana-mana untuk keduanya), apa cara yang baik untuk menjawab pertanyaan ini?

masukkan deskripsi gambar di sini

Memperbarui

Tampaknya pertanyaan ini dapat dijawab dengan dua cara:

Jika kita memiliki sampel dari eksterior, kita dapat melihat fraksi sampel di mana (atau ekuivalen ). @ Cam.Davidson.Pilon menyertakan jawaban yang akan mengatasi masalah ini menggunakan sampel tersebut. $\lambda_1 \neq \lambda_2$ $\lambda_2 > \lambda_1$
Mengintegrasikan semacam perbedaan posisi. Dan itu bagian penting dari pertanyaan saya. Seperti apa integrasi itu? Agaknya pendekatan pengambilan sampel akan mendekati integral ini, tetapi saya ingin mengetahui formulasi integral ini.

Catatan: Plot di atas berasal dari bahan ini .

distributions bayesian poisson-distribution

— Amelio Vazquez-Reina
sumber

Anda bisa menghitung varians dari kedua distribusi dan menambahkannya. Itulah perbedaan dari perbedaan dalam cara. Kemudian hitung selisih rata-rata dan lihat berapa standar deviasi itu. Anda dapat memperkirakan kedua distribusi dengan normal untuk memulai dan menggunakan interval kepercayaan biasa untuk distribusi normal. Mereka jelas cara yang berbeda.

— Dave31415

Pengujian hipotesis intrinsik adalah jawaban

— Stéphane Laurent

H_{0} : {ϕ = 1}

$H_0:\{\phi=1\}$

ϕ

$\phi$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

Maaf @ user023472 Saya tidak punya energi hari ini. Lihat karya-karya Bernardo yang dikutip di koran saya. "Intrinsik" berarti bahwa metode ini berasal dari dan hanya dari model.

— Stéphane Laurent

Jawaban:

Saya pikir pertanyaan yang lebih baik adalah, apakah mereka berbeda secara signifikan?

$P(\lambda_2 > \lambda_1)$ $p$ $p \approx 0.50$ $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

$p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

 p = np.mean( lambda_2_samples > lambda_1_samples )
 print p

Saya minta maaf karena tidak memasukkan ini dalam buku, saya pasti akan menambahkannya karena saya pikir itu salah satu ide yang paling berguna dalam kesimpulan Bayesian

— Cam.Davidson.Pilon
sumber

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$ np.mean( lambda_2_samples != lambda_1_samples)

P (| λ_{1} - λ_{2} | > 1)

$P(|\lambda_1-\lambda_2| > 1)$

P (λ_{1} \neq λ_{2})

$P(\lambda_1 \ne \lambda_2)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

oh Tuhan, aku benci berada di situasi itu! Ini melibatkan integral jahat. Untuk sebagian besar model, Anda tidak dapat menurunkan posisinya. Bahkan jika Anda bisa, mungkin masih lebih baik menggunakan komputer, hanya demi mendapatkan sampel. Singkatnya, sampel> rumus untuk perhitungan seperti ini.

— Cam.Davidson.Pilon

Anda tidak mengukur "cukup besar". Pertimbangkan distribusi dengan puncak di nol dan lainnya dengan massa sama di puncak -10, 10. Statistik Anda - nilai yang diharapkan dari indikator bahwa satu sampel lebih besar dari yang lain - memberikan 0,5, tetapi distribusi jelas sangat berbeda.

— Neil G

$\lambda_1$ $\lambda_2$ $\Pr(\lambda_1=\lambda_2)=0$

$\lambda_1$ $\lambda_2$ $\epsilon$ $[-\epsilon/2, \epsilon/2]$

$\lambda_2>\lambda_1$

— Sycorax berkata Reinstate Monica
sumber

Terima kasih. Bagaimana jawaban Anda terkait dengan beberapa ide yang dibahas dalam komentar OP?

— Amelio Vazquez-Reina

Maaf, tapi saya tidak terbiasa dengan salah satu metode itu sehingga saya tidak bisa berkomentar secara berarti. @ Stéphane_Laurent cukup cerdas, jadi saya sarankan melihat melalui tautan, minimal.

— Sycorax berkata Reinstate Monica

@ user023472 Maaf saya tidak punya energi hari ini untuk membuat jawaban tentang pendekatan perbedaan intrinsik. Ini didasarkan pada perbedaan Kullback-Leibler.

— Stéphane Laurent

ϵ

$\epsilon$

p (λ_{2} > λ_{1})

$p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

p (λ_{2} \neq λ_{1})

$p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$

Terima kasih @ user777. Saya tertarik pada kasus ketika kita tidak memiliki akses ke sampel. Anda memiliki integral dalam posting Anda sebelumnya, tetapi Anda tampaknya telah menghapusnya. Seperti apa bentuk integral itu?

— Amelio Vazquez-Reina