Bagaimana suatu distribusi memiliki mean dan varian yang tak terbatas?

35

Akan dihargai jika contoh-contoh berikut dapat diberikan:

Distribusi dengan rerata tak terbatas dan ragam tak terbatas.
Distribusi dengan rerata tak terbatas dan varian terbatas.
Distribusi dengan rerata terbatas dan varian tak terbatas.
Distribusi dengan rerata terbatas dan varian terbatas.

Itu datang dari saya melihat istilah-istilah asing ini (mean tak terbatas, varian tak terbatas) yang digunakan dalam artikel yang saya baca, googling, dan membaca utas di forum / situs web Wilmott , dan tidak menemukan penjelasan yang cukup jelas. Saya juga belum menemukan penjelasan di buku teks saya sendiri.

distributions variance mean

— user1205901 - Pasang kembali Monica
sumber

1

kasus 2 dalam daftar Anda di atas tidak mungkin.

— kjetil b halvorsen

Relevan: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— b halvorsen

1

Kemungkinan rangkap dari Apa perbedaan antara varian terbatas dan tak terbatas

— kjetil b halvorsen

2

Dengan menanyakan empat contoh spesifik ini, saya pikir ini adalah pertanyaan yang berbeda dan tidak boleh ditutup sebagai duplikat - meskipun pertanyaan lainnya tentu relevan dan bermanfaat.

— Silverfish

1

Dari 4 contoh hanya 1, 3 dan 4 yang benar-benar mungkin dan contoh mudah dapat diberikan untuk 1 dan 4. Cauchy adalah contoh dari 1 dan Gaussian adalah contoh dari 4. Tidak mungkin varians didefinisikan dengan baik jika. berarti tidak ada. Karenanya 2 tidak mungkin. Contoh 3 akan menarik untuk dibangun.

— Michael R. Chernick

52

Mean dan varians didefinisikan dalam hal integral. Apa artinya untuk mean atau varians menjadi tak terbatas adalah pernyataan tentang perilaku membatasi untuk mereka yang integral

Misalnya, rerata adalah (mempertimbangkan ini, katakan sebagai integral Stieltjes); untuk kepadatan terus menerus ini akan menjadi (sekarang sebagai terpisahkan Riemann, katakanlah). $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Ini bisa terjadi, misalnya, jika ekornya "cukup berat". Pertimbangkan contoh-contoh berikut untuk empat kasus mean dan varians terbatas / tak terbatas:

Distribusi dengan rerata tak terbatas dan ragam tak terbatas.

Contoh: Distribusi pareto dengan , distribusi zeta (2). $\alpha= 1$
Distribusi dengan rerata tak terbatas dan varian terbatas.

Tidak memungkinkan.
Distribusi dengan rerata terbatas dan varian tak terbatas.

Contoh: distribusi $t_2$ . Pareto dengan . $\alpha=\frac{3}{2}$
Distribusi dengan rerata terbatas dan varian terbatas.

Contoh: Apa saja yang normal. Seragam apa pun (memang, variabel terikat memiliki semua momen). . $t_3$

Anda juga dapat memiliki distribusi di mana integral tidak terdefinisi tetapi tidak harus melampaui semua batas yang terbatas dalam batas.

Catatan-catatan oleh Charles Geyer ini berbicara tentang bagaimana menghitung integral yang relevan dalam istilah sederhana. Sepertinya itu berurusan dengan Riemann integral di sana, yang hanya mencakup kasus kontinu tetapi definisi yang lebih umum dari integral (Stieltjes misalnya) akan mencakup semua kasus yang mungkin akan Anda butuhkan [Integrasi Lebesgue adalah bentuk integrasi yang digunakan dalam teori ukuran (yang mendasari probabilitas) tetapi intinya di sini berfungsi dengan baik dengan metode yang lebih mendasar]. Ini juga mencakup (Sec 2.5, p13-14) mengapa "2." tidak mungkin (rata-rata ada jika varians ada).

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

7

+1 Alasan mengapa (2) tidak mungkin adalah sepele: varians didefinisikan dalam hal mean. Sedikit lebih dalam adalah kenyataan bahwa ketika momen kedua

adalah terbatas, maka mean harus terbatas. Karena jika rerata infinite, maka fortiori momen kedua harus infinite karena momen kedua adalah pembobotan nilai-nilai

tidak hanya oleh probabilitas tetapi juga oleh

itu sendiri (

). Bobot itu tumbuh tanpa terikat, menyebabkan momen kedua akhirnya melebihi nilai absolut dari momen pertama.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber tetapi Anda bisa mendefinisikan varians tanpa merujuk ke rata-rata (seperti dalam hal harapan perbedaan kuadrat dalam pasangan nilai), sehingga masalahnya tidak sepele seperti itu. Sesuatu yang lebih mirip argumen kedua Anda sebenarnya dibutuhkan.

— Glen_b -Reinstate Monica

3

Itu poin yang baik, tetapi jika kita menerima bahwa definisi alternatif varian secara aljabar setara dengan definisi biasa untuk semua distribusi, maka jika definisi tidak terdefinisi menurut satu definisi yang secara logis akan menjadi demonstrasi yang cukup bahwa itu didefinisikan tidak sesuai ke mall. Di mana alternatif seperti yang Anda sebutkan mengemuka dalam studi proses stokastik di mana berbagai definisi tidak setara.

— whuber

2

Ya saya lakukan. Varians, menjadi harapan dari variabel acak non-negatif, sama dengan integral Lebesgue dari bagian positif saja. Oleh karena itu, ia terbatas atau tidak terbatas (dalam garis bilangan yang diperpanjang), apa pun yang terjadi. Sifat non-negatif ini membedakan analisis momen genap dengan momen lainnya, yang bisa gagal didefinisikan.

— whuber

2

Definisi varians adalah bahwa itu sama dengan

.

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

Distribusi yang stabil memberikan contoh parametrik yang bagus tentang apa yang Anda cari:

mean dan varians tak terhingga: $0 < \text{stability parameter} < 1$
T / A
finite mean dan varians tak terbatas: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
finite mean dan varians: (Gaussian) $\text{stability parameter} = 2$

— Steve Schulist
sumber

1

Tidak ada yang menyebutkan paradoks St. Petersburg di sini; kalau tidak, saya tidak akan memposting di utas ini yang sudah memiliki beberapa jawaban termasuk satu jawaban "diterima".

Jika koin mendarat "kepala" Anda menang satu sen.

Jika "berekor", kemenangannya berlipat ganda dan kemudian jika "menuju" pada lemparan kedua, Anda menang dua sen.

Jika "membuntuti" untuk kedua kalinya, kemenangannya berlipat ganda lagi dan jika "menuju" pada lemparan ketiga, Anda menang empat sen.

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

$\$1$ $\$1$

Jawabannya adalah bahwa dalam satu kesempatan yang sangat jarang, Anda akan mendapatkan urutan ekor yang panjang, sehingga kemenangan akan memberi Anda kompensasi atas biaya yang sangat besar yang Anda keluarkan. Itu benar, tidak peduli seberapa tinggi harga yang Anda bayar untuk setiap lemparan.

— Michael Hardy
sumber

-1

Tentang distribusi kedua yang Anda cari, pertimbangkan variabel acak

X_{2} = berapa kali Anda dapat memperbesar seperti 10cm menjadi fraktal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$ maka jawabannya tidak terbatas dengan probabilitas satu, dan oleh karena itu variansnya nol dan rata-rata distribusi memiliki nilai tak terbatas.

— Tuan Joe
sumber

Itu contoh yang menarik, tetapi untuk perhitungan Anda memerlukan sistem bilangan real yang diperluas di mana

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$ .

— kjetil b halvorsen