Mengapa tidak baik untuk melakukan korelasi Pearson pada data proporsi?

Modul online yang saya pelajari menyatakan bahwa seseorang tidak boleh menggunakan korelasi Pearson dengan data proporsi. Kenapa tidak?

Atau, jika kadang-kadang OK atau selalu OK, mengapa?

Ini untuk kasus ketika beberapa variabel dijumlahkan menjadi 1, dalam setiap pengamatan. Jawaban saya adalah level intuisi; ini disengaja (dan juga, saya bukan ahli data komposisi).

Marilah kita memiliki variabel bernilai positif iid (karenanya tidak berkorelasi nol) yang kemudian kami simpulkan dan hitung ulang sebagai proporsi dari jumlah itu. Kemudian,

• Dalam hal dua variabel V1 V2 , jika V1 dikatakan bervariasi secara bebas maka V2 tidak memiliki ruang untuk kebebasan (karena V1 + V2 = konstan) dan sepenuhnya tetap; semakin besar V1 semakin kecil V2, semakin kecil V1 semakin besar V2. Korelasi mereka adalah dan selalu begitu.$-1$
• Dalam hal 3 variabel V1 V2 V3 , jika V1 dikatakan bervariasi secara bebas maka V2 + V3 diperbaiki; yang mengatakan bahwa di dalam (V2 + V3) masing-masing dari dua variabel masih sebagian bebas: mereka rata-rata kali tetap masing-masing, total tetap penuh. Jadi, jika salah satu dari tiga variabel diambil sebagai bebas (seperti kami mengambil V1), salah satu dari dua yang tersisa diharapkan diperbaiki. Sehingga korelasi di antara mereka adalah . Ini adalah korelasi yang diharapkan ; mungkin berbeda dari sampel ke sampel.1 / 2 - $1/2$$1/2$$-0.5$
• Dalam kasus 4 variabel V1 V2 V3 V4 dengan alasan yang sama kita miliki itu, jika kita mengambil salah satu dari empat sebagai bebas maka salah satu dari sisanya diharapkan diperbaiki; jadi, korelasi yang diharapkan antara setiap pasangan dari empat - satu sebagai bebas yang lain sebagai tetap - adalah .1 / 3 - $1/3$$1/3$$-0.333$
• Karena jumlah variabel (awalnya iid) tumbuh, korelasi berpasangan yang diharapkan tumbuh dari negatif ke , dan variasi dari sampel ke sampel menjadi lebih besar.$0$

Tautan video komentar Anda menetapkan konteks ke komposisi, yang juga dapat disebut campuran. Dalam kasus ini, jumlah proporsi masing-masing komponen bertambah menjadi 1. Misalnya, Udara adalah 78% nitrogen, 21% oksigen, dan 1% lainnya (total 100%). Mengingat bahwa jumlah satu komponen sepenuhnya ditentukan oleh yang lain, setiap dua komponen akan memiliki hubungan multi-linear yang sempurna. Sebagai contoh udara, kami memiliki:

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$

sehingga kemudian:

$x_{1} = 1 - x_{2} - x_{3}$

$x_{2} = 1 - x_{1} - x_{3}$

$x_{3} = 1 - x_{1} - x_{2}$

Jadi jika Anda tahu ada dua komponen, yang ketiga segera diketahui.

Secara umum, kendala pada campuran adalah

$\sum_{i=1}^{q} x_{i} = 1$

Batasan ini membuat tingkat faktor tidak bebas.$x_{i}$

Anda dapat menghitung korelasi antara dua komponen, tetapi tidak informatif , karena mereka selalu berkorelasi. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang analisis komposisi dalam Menganalisis data yang diukur sebagai komposisi proporsional .

Anda dapat menggunakan korelasi ketika data proporsi berasal dari domain yang berbeda. Katakanlah respons Anda adalah sebagian kecil dari piksel mati pada layar LCD. Anda bisa mencoba menghubungkan ini dengan, katakanlah, fraksi helium yang digunakan dalam langkah pemrosesan kimia layar.

Ini adalah pertanyaan yang mendalam, dan satu dengan beberapa kehalusan yang perlu dinyatakan. Saya akan mencoba yang terbaik, tetapi meskipun saya telah menerbitkan tentang topik ini ( Proporsionalitas: Alternatif yang Valid untuk Korelasi untuk Data Relatif ) Saya selalu siap untuk dikejutkan oleh wawasan baru tentang analisis data yang hanya berisi informasi relatif.

Seperti yang ditunjukkan oleh kontributor pada utas ini, korelasi terkenal buruk (di beberapa kalangan) karena menjadi tidak berarti ketika diterapkan pada data komposisi yang muncul ketika satu set komponen dibatasi untuk menambah konstanta (seperti yang kita lihat dengan proporsi, persentase, bagian-per-juta, dll.).

Karl Pearson menciptakan istilah korelasi palsu dengan pemikiran ini. (Catatan: Situs Spurious Correlation Tyler Vigen yang populer tidak banyak membahas tentang korelasi palsu karena kekeliruan " korelasi menyiratkan penyebab ".)

Bagian 1.7 dari Aitchison's (2003) Sebuah Panduan Ringkas untuk Analisis Data Komposisi memberikan ilustrasi klasik mengapa korelasi merupakan ukuran hubungan yang tidak sesuai untuk data komposisi (untuk kenyamanan, dikutip dalam Informasi Tambahan ini .

Data komposisi muncul tidak hanya ketika satu set komponen non-negatif dibuat untuk dijumlahkan menjadi konstan; data dikatakan bersifat komposisi setiap kali mereka hanya membawa informasi relatif.

Saya pikir masalah utama dengan korelasi data yang hanya membawa informasi relatif adalah interpretasi hasil. Ini adalah masalah yang bisa kita ilustrasikan dengan satu variabel; katakanlah "donat yang diproduksi per dolar dari PDB" di seluruh negara di dunia. Jika nilai satu negara lebih tinggi daripada yang lain, apakah itu karena

• produksi donat mereka lebih tinggi?
• PDB mereka lebih rendah?

... siapa yang bisa bilang?

Tentu saja, seperti yang dikatakan orang di utas ini, orang dapat menghitung korelasi jenis-jenis variabel ini sebagai variabel deskriptif. Tapi apa artinya korelasi seperti itu?

Saya punya pertanyaan yang sama. Saya menemukan referensi ini di biorxiv berguna:

Lovell D., V. Pawlowsky-Glahn, J. Egozcue, S. Marguerat, J. Bähler (2014),
"Proporsionalitas: alternatif yang valid untuk korelasi untuk data relatif"

Dalam informasi pendukung makalah ini (Lovell, David, et al.; Doi: dx.doi.org/10.1101/008417), penulis menyebutkan bahwa korelasi antara kelimpahan relatif tidak memberikan informasi dalam beberapa kasus. Mereka memberikan contoh kelimpahan relatif dari dua ekspresi mRNA. Dalam Gambar S2, kelimpahan relatif dari dua mRNA yang berbeda berkorelasi negatif sempurna, meskipun korelasi kedua mRNA ini dalam nilai absolut tidak terkait negatif (titik hijau dan titik ungu).

Mungkin itu bisa membantu Anda.