Homoskedasticity bersyarat vs heteroskedasticity

Dari Econometrics , oleh Fumio Hayashi (Chpt 1):

Homoskedasticity Tanpa Syarat:

Momen kedua dari istilah kesalahan E (εᵢ²) konstan di seluruh pengamatan
Bentuk fungsional E (εᵢ² | xi) konstan di seluruh pengamatan

Homoskedasticity Bersyarat:

Pembatasan bahwa momen kedua dari istilah kesalahan E (εᵢ²) adalah konstan di seluruh pengamatan diangkat
- Dengan demikian momen kedua bersyarat E (εᵢ² | xi) dapat berbeda antar pengamatan melalui kemungkinan ketergantungan pada xᵢ.

Jadi, pertanyaan saya:

Apa perbedaan Homoskedasticity Conditional dengan Heteroskedasticity?

Pemahaman saya adalah bahwa ada heteroskedastisitas ketika momen kedua berbeda lintas pengamatan (xᵢ).

— Alec
sumber

Mungkin ini akan membantu: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/…

— whuber

Ada sedikit masalah dalam ceramah yang mengatakan "Oleh karena itu, homoskedasticity bersyarat menyiratkan homoskedasticity tanpa syarat" dalam kontradiksi dengan buku Econometrics. Mereka tampaknya dikondisikan pada hal-hal yang berbeda.

— Henry

@Henry Sulit untuk mengatakan dari pertanyaan sekarang definisi mana yang akurat dan mana yang tidak - beberapa dari mereka tampaknya tidak masuk akal dari konteks buku teks. Beberapa klarifikasi akan diterima.

— whuber

Saya akan mulai dengan hanya mengutip dari Hayashi untuk membantu orang lain yang ingin berkomentar. Saya telah mencoba mempertahankan nomor pemformatan dan persamaan asli.

Mulai kutipan dari Hayashi halaman 126, bagian 2.6:

Homoskedastisitas Bersyarat versus Tanpa Syarat

Asumsi homoskedasticity bersyarat adalah:

Asumsi 2.7 (homoskedasticity kondisional): Asumsi ini menyiratkan bahwa momen kedua tanpa syarat sama dengan oleh Law of Total Expectations. Agar lebih jelas tentang perbedaan antara homoskedastisitas tanpa syarat dan kondisional, pertimbangkan contoh berikut [Contoh 2.6 (kesalahan homoskedastik tanpa syarat tetapi kesalahan heteroskedastik bersyarat) ...]

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

Akhiri kutipan.

Beberapa persamaan yang relevan dari Hayashi halaman 11-14 (Bagian 1.1):

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{i}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

Subbagian "Model Regresi Klasik untuk Sampel Acak" pada halaman 12 membahas implikasi sampel menjadi iid. Mengutip dari halaman Hayashi 12-13: "Implikasi dari aspek distribusi identik sampel acak adalah bahwa distribusi gabungan dari tidak tergantung pada Jadi. Un bersyarat momen kedua konstan di (ini disebut sebagai homoskedasticity tanpa syarat ) dan bentuk fungsional dari momen kedua bersyarat adalah sama di . Namun Asumsi 1.4 --- bahwa nilai $(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ dari momen kedua bersyarat adalah sama di --- tidak mengikuti. Oleh karena itu, Asumsi 1.4 tetap membatasi untuk kasus sampel acak; tanpanya, momen kedua bersyarat dapat berbeda di seluruh melalui kemungkinan ketergantungannya pada . Untuk menekankan perbedaan, pembatasan pada momen kedua bersyarat, (1.1.12) dan (1.1.17), disebut sebagai homoskedastisitas bersyarat . " $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[Tidak ada kutipan lebih lanjut dari Hayashi, hanya pemahaman saya setelah titik ini.]

Saya berasumsi pertanyaan aslinya adalah tentang diskusi di atas pada halaman 12-13. Dalam hal ini, saya pikir peluru pertama di bawah "Homoskedasticity Bersyarat" secara teknis tidak benar (meskipun saya mengerti apa yang Anda maksud): Hayashi mengatakan (1.1.17) adalah "homoskedastisitas bersyarat," dan jika , lalu , seperti catatan Hayashi pada halaman 126 (bahwa homoskedastisitas bersyarat menyiratkan homoskedastisitas tanpa syarat oleh Hukum Total Ekspektasi). $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

Jadi saya pikir bagian dari masalah ini mungkin adalah interpretasi dari pernyataan Hayashi. Homoskedasticity bersyarat mengatakan (1.1.17) bahkan untuk berbeda , varian adalah konstanta yang sama . Homoskedasticity tanpa syarat adalah pernyataan yang lebih lemah , karena Anda dapat memiliki tetapi ; Contoh 2.6 (halaman 127) menggambarkan ini. Mungkin juga menjawab pertanyaan tumpang tindih antara homo- dan heteroskedastisitas: ini memberikan contoh di mana ada homoskedastisitas tanpa syarat serta heteroskedastisitas bersyarat. $\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$

Ini adalah konsep yang membingungkan, terutama tanpa banyak pengalaman dengan ekspektasi / distribusi bersyarat, tetapi mudah-mudahan ini menambah beberapa kejelasan (dan sumber materi untuk setiap diskusi di masa depan).

— David M Kaplan
sumber

Mungkin membantu untuk merangkum contoh-contoh di sini untuk lebih memperjelas perbedaan antara konsep-konsep yang membingungkan ini.

— gung - Reinstate Monica