Jumlah rasio kelahiran anak perempuan dan anak laki-laki yang diharapkan

Saya telah menemukan pertanyaan dalam tes bakat wawancara kerja untuk berpikir kritis. Ini berjalan kira-kira seperti ini:

Republik Zorganian memiliki beberapa kebiasaan yang sangat aneh. Pasangan hanya ingin memiliki anak perempuan karena hanya perempuan yang dapat mewarisi kekayaan keluarga, jadi jika mereka memiliki anak laki-laki, mereka akan memiliki lebih banyak anak sampai mereka memiliki anak perempuan. Jika mereka memiliki seorang gadis, mereka berhenti memiliki anak. Apa rasio perempuan dan laki-laki di Zorgania?

Saya tidak setuju dengan jawaban model yang diberikan oleh penulis pertanyaan, yaitu sekitar 1: 1. Pembenarannya adalah setiap kelahiran akan selalu memiliki peluang 50% untuk menjadi pria atau wanita.

Bisakah Anda meyakinkan saya dengan jawaban yang lebih matematis dari jika adalah jumlah anak perempuan dan B adalah jumlah anak laki-laki di negara ini?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Mulailah tanpa anak

ulangi langkah

{

Setiap pasangan yang masih memiliki anak memiliki anak. Setengah pasangan memiliki pria dan setengah pasangan memiliki wanita.

Pasangan-pasangan yang memiliki wanita berhenti memiliki anak

}

Pada setiap langkah Anda mendapatkan jumlah laki-laki dan perempuan yang genap dan jumlah pasangan yang memiliki anak berkurang setengahnya (yaitu mereka yang memiliki perempuan tidak akan memiliki anak pada langkah berikutnya)

Jadi, pada waktu tertentu Anda memiliki jumlah pria dan wanita yang sama dan dari langkah ke langkah jumlah pasangan yang memiliki anak turun hingga setengahnya. Karena semakin banyak pasangan yang diciptakan situasi yang sama terulang kembali dan semua hal lainnya dianggap sama, populasi akan mengandung jumlah pria dan wanita yang sama.

Biarkan menjadi jumlah anak laki-laki dalam sebuah keluarga. Begitu mereka memiliki seorang gadis, mereka berhenti, jadi$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Jika adalah probabilitas bahwa seorang anak laki-laki dan jika jenis kelamin tidak tergantung di antara anak-anak, probabilitas bahwa sebuah keluarga akhirnya memiliki anak laki-laki adalah yaitu kemungkinan memiliki anak laki-laki dan kemudian memiliki anak perempuan. The jumlah yang diharapkan dari anak laki-laki adalah Memperhatikan bahwa kita mendapatkan k P ( X = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , k E X = ∞ Σ k = 0 k p k ⋅ ( 1 - p ) = ∞ Σ k = 0 k p k - ∞ Σ k = 0 k p k + 1 . ∞ ∑ k $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ di mana kami menggunakan itu ketika (lihat seri geometris ).$\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Jika , kita memiliki . Artinya, rata-rata keluarga memiliki 1 anak lelaki. Kita sudah tahu bahwa semua keluarga memiliki 1 anak perempuan, jadi rasionya akan seiring waktu menjadi .$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

Variabel acak dikenal sebagai variabel acak geometrik .$X$

Ringkasan

Model sederhana bahwa semua kelahiran secara mandiri memiliki peluang 50% untuk menjadi perempuan adalah tidak realistis dan, ternyata, luar biasa. Segera setelah kami mempertimbangkan konsekuensi dari variasi hasil di antara populasi, jawabannya adalah bahwa rasio anak perempuan: anak laki-laki dapat berupa nilai apa pun yang tidak melebihi 1: 1. (Pada kenyataannya kemungkinannya masih mendekati 1: 1, tapi itu masalah untuk menentukan analisis data.)

Karena kedua jawaban yang saling bertentangan ini keduanya diperoleh dengan mengasumsikan kemandirian statistik dari hasil kelahiran, banding ke kemandirian adalah penjelasan yang tidak memadai. Dengan demikian tampak bahwa variasi (dalam kemungkinan kelahiran wanita) adalah ide kunci di balik paradoks.

pengantar

Paradoks terjadi ketika kita berpikir bahwa kita memiliki alasan yang baik untuk mempercayai sesuatu tetapi dihadapkan dengan argumen yang tampak sebaliknya.

Resolusi yang memuaskan untuk suatu paradoks membantu kita memahami apa yang benar dan apa yang mungkin salah tentang kedua argumen. Seperti yang sering terjadi dalam probabilitas dan statistik, kedua argumen tersebut sebenarnya dapat valid: resolusi akan bergantung pada perbedaan antara asumsi yang secara implisit dibuat. Membandingkan berbagai asumsi ini dapat membantu kami mengidentifikasi aspek situasi mana yang mengarah pada jawaban yang berbeda. Mengidentifikasi aspek-aspek ini, menurut saya, adalah hal yang paling kita hargai.

Asumsi

Sebagaimana dibuktikan oleh semua jawaban yang diposting sejauh ini, adalah wajar untuk menganggap bahwa kelahiran bayi perempuan terjadi secara independen dan dengan probabilitas konstan dari . Sudah diketahui secara umum bahwa tidak ada asumsi yang benar, tetapi akan terlihat bahwa sedikit penyimpangan dari asumsi-asumsi ini tidak akan banyak mempengaruhi jawabannya. Mari kita lihat. Untuk tujuan ini, pertimbangkan model yang lebih umum dan lebih realistis berikut:$1/2$

1. Dalam setiap keluarga probabilitas kelahiran perempuan adalah konstan , terlepas dari urutan kelahiran.$i$$p_i$

2. Dengan tidak adanya aturan penghentian, jumlah kelahiran perempuan yang diharapkan dalam populasi harus mendekati jumlah kelahiran laki-laki yang diharapkan.

3. Semua hasil kelahiran (secara statistik) independen.

Ini masih bukan model yang sepenuhnya realistis dari kelahiran manusia, di mana dapat bervariasi dengan usia orang tua (terutama ibu). Namun, cukup realistis dan fleksibel untuk memberikan resolusi paradoks yang memuaskan yang akan berlaku bahkan untuk model yang lebih umum.$p_i$

Analisis

Meskipun menarik untuk melakukan analisis menyeluruh dari model ini, poin utama menjadi jelas bahkan ketika versi spesifik, sederhana (tetapi agak ekstrim) dipertimbangkan. Misalkan populasi memiliki keluarga. Di setengah dari ini peluang kelahiran wanita adalah dan di setengah lainnya peluang kelahiran wanita adalah . Kondisi ini jelas memuaskan (2): jumlah yang diharapkan dari kelahiran perempuan dan laki-laki adalah sama.$2N$$2/3$$1/3$

Pertimbangkan keluarga pertama itu . Mari kita beralasan dalam hal harapan, memahami bahwa hasil aktual akan acak dan karena itu akan sedikit berbeda dari harapan. (Gagasan di balik analisis berikut ini disampaikan lebih singkat dan sederhana dalam jawaban asli yang muncul di bagian paling akhir tulisan ini.)$N$

Misalkan adalah jumlah kelahiran wanita yang diharapkan dalam populasi dengan probabilitas kelahiran wanita konstan . Jelas ini sebanding dengan dan dapat ditulis . Demikian pula, misalkan menjadi jumlah yang diharapkan dari kelahiran pria.$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• Keluarga pertama menghasilkan seorang gadis dan berhenti. Keluarga lainnya menghasilkan anak laki-laki dan terus melahirkan anak. Itu perempuan dan laki-laki sejauh ini.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• Sisa keluarga berada di posisi yang sama seperti sebelumnya:$(1-p)N$ asumsi independensi (3) menyiratkan bahwa apa yang mereka alami di masa depan tidak terpengaruh oleh kenyataan bahwa anak sulung mereka adalah seorang putra. Jadi, keluarga-keluarga ini akan menghasilkan lebih banyak anak perempuan dan lebih banyak anak laki-laki.$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

Menambahkan total perempuan dan laki-laki total dan membandingkan dengan nilai yang diasumsikan mereka dari dan memberikan persamaan$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

dengan solusi

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

Jumlah anak perempuan yang diharapkan dalam keluarga pertama , dengan , oleh karena itu adalah dan jumlah anak laki-laki yang diharapkan adalah .$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

Jumlah anak perempuan yang diharapkan dalam keluarga kedua , dengan , oleh karena itu adalah dan jumlah anak laki-laki yang diharapkan adalah .$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

Totalnya adalah perempuan dan laki-laki. Untuk besar , rasio yang diharapkan akan mendekati rasio harapan,$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

Aturan berhenti menguntungkan anak laki-laki!

Secara lebih umum, dengan setengah keluarga yang mengandung anak perempuan secara mandiri dengan probabilitas dan separuh lainnya yang mengandung anak laki-laki secara mandiri dengan probabilitas , kondisi (1) sampai (3) terus berlaku dan rasio yang diharapkan untuk pendekatan besar$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

Bergantung pada , yang tentu saja berada di antara dan , nilai ini bisa berada di antara dan (tetapi tidak pernah lebih besar dari ). Ini mencapai maksimum hanya ketika . Dengan kata lain, rasio gadis: anak laki-laki 1: 1 adalah pengecualian khusus untuk aturan yang lebih umum dan realistis yang berhenti dengan gadis pertama lebih disukai anak laki-laki dalam populasi.$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

Resolusi

Jika intuisi Anda adalah berhenti dengan gadis pertama harus menghasilkan lebih banyak anak laki-laki dalam populasi, maka Anda benar, seperti yang ditunjukkan contoh ini. Agar benar semua yang Anda butuhkan adalah kemungkinan melahirkan seorang anak perempuan bervariasi (bahkan hanya sedikit) di antara keluarga.

Jawaban "resmi", bahwa rasionya harus mendekati 1: 1, memerlukan beberapa asumsi yang tidak realistis dan peka terhadapnya: itu mengandaikan tidak ada variasi di antara keluarga dan semua kelahiran harus independen.

Komentar

Gagasan utama yang disorot oleh analisis ini adalah bahwa variasi dalam populasi memiliki konsekuensi penting. Kemandirian kelahiran - walaupun ini adalah asumsi penyederhanaan yang digunakan untuk setiap analisis dalam utas ini - tidak menyelesaikan paradoks, karena (tergantung pada asumsi lain) konsisten dengan jawaban resmi dan kebalikannya.

Namun, perlu diketahui bahwa untuk rasio yang diharapkan berangkat secara substansial dari 1: 1, kita perlu banyak variasi di antara dalam populasi. Jika semua adalah, katakanlah, antara 0,45 dan 0,55, maka efek variasi ini tidak akan terlalu terlihat. Mengatasi pertanyaan ini tentang apa sebenarnya dalam populasi manusia membutuhkan dataset yang cukup besar dan akurat. Seseorang mungkin menggunakan model campuran linier umum dan menguji untuk penyebaran berlebihan .$p_i$$p_i$$p_i$

Jika kita mengganti jenis kelamin dengan beberapa ekspresi genetik lainnya, maka kita memperoleh penjelasan statistik sederhana tentang seleksi alam : aturan yang secara berbeda membatasi jumlah keturunan berdasarkan susunan genetik mereka secara sistematis dapat mengubah proporsi gen-gen tersebut pada generasi berikutnya. Ketika gen tidak terkait seks, bahkan efek kecil akan diperbanyak secara berganda melalui generasi-generasi berikutnya dan dapat dengan cepat menjadi sangat besar.

---

Jawaban asli

Setiap anak memiliki urutan kelahiran: anak sulung, anak kedua, dan sebagainya.

Dengan asumsi probabilitas yang sama untuk kelahiran laki-laki dan perempuan dan tidak ada korelasi di antara jenis kelamin, Lemah Hukum Jumlah Besar menegaskan akan ada dekat dengan rasio 1: 1 perempuan pertama untuk laki-laki. Untuk alasan yang sama akan ada perbandingan 1: 1 antara perempuan yang dilahirkan kedua dengan laki-laki, dan seterusnya. Karena rasio ini konstan 1: 1, rasio keseluruhan harus 1: 1 juga, terlepas dari apa frekuensi relatif dari urutan kelahiran ternyata dalam populasi.

Kelahiran setiap anak adalah peristiwa independen dengan P = 0,5 untuk anak laki-laki dan P = 0,5 untuk anak perempuan. Perincian lainnya (seperti keputusan keluarga) hanya mengalihkan perhatian Anda dari fakta ini. Maka jawabannya adalah bahwa rasionya adalah 1: 1 .

Untuk menguraikan ini: bayangkan bahwa alih-alih memiliki anak, Anda membalik koin yang adil (P (kepala) = 0,5) sampai Anda mendapatkan "kepala". Katakanlah Keluarga A membalik koin dan mendapatkan urutan [ekor, ekor, kepala]. Kemudian Keluarga B membalik koin dan mendapatkan ekor. Sekarang, berapa probabilitas bahwa kepala berikutnya akan menjadi kepala? Masih 0,5 , karena itulah arti independen . Jika Anda melakukan ini dengan 1000 keluarga (yang berarti 1000 ekor muncul), jumlah total ekor yang diharapkan adalah 1000, karena setiap flip (peristiwa) sepenuhnya independen.

Beberapa hal tidak independen, seperti urutan dalam keluarga: probabilitas urutan [kepala, kepala] adalah 0, tidak sama dengan [ekor, ekor] (0,25). Tetapi karena pertanyaannya bukan tentang hal ini, itu tidak relevan.

Bayangkan melemparkan koin yang adil sampai Anda mengamati kepala. Berapa ekor yang Anda lemparkan?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Jumlah ekor yang diharapkan mudah dihitung * menjadi 1.

Jumlah kepala selalu 1.

* jika ini tidak jelas bagi Anda, lihat 'garis besar bukti' di sini

Pasangan dengan tepat satu perempuan dan tanpa laki-laki adalah yang paling umum

Alasan semua ini berhasil adalah karena probabilitas dari satu skenario di mana ada lebih banyak anak perempuan jauh lebih besar daripada skenario di mana ada lebih banyak anak laki-laki. Dan skenario di mana ada lebih banyak anak laki-laki memiliki probabilitas sangat rendah. Cara kerjanya yang spesifik digambarkan di bawah ini

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Anda bisa melihat ke mana arahnya pada titik ini, jumlah anak perempuan dan laki-laki akan bertambah menjadi satu.

Gadis yang diharapkan dari satu pasangan Anak laki-laki yang diharapkan dari satu pasangan${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Batasi solusi dari wolfram}

Kelahiran apa pun, apa pun keluarga itu, memiliki peluang 50:50 menjadi anak laki-laki atau perempuan

Ini semua masuk akal secara intrinsik karena (cobalah seperti pasangan mungkin) Anda tidak dapat mengontrol kemungkinan kelahiran tertentu menjadi laki-laki atau perempuan. Tidak masalah apakah seorang anak dilahirkan dari pasangan tanpa anak atau keluarga dari seratus anak laki-laki; kesempatannya adalah 50:50 jadi jika setiap kelahiran memiliki peluang 50:50 maka Anda harus selalu mendapatkan setengah anak laki-laki dan setengah perempuan. Dan tidak masalah bagaimana Anda mengocok kelahiran di antara keluarga; Anda tidak akan memengaruhi itu.

Ini berfungsi untuk ¹ aturan apa pun

Karena karena peluang 50:50 untuk kelahiran apa pun, rasio akan berakhir sebagai 1: 1 untuk aturan (wajar ¹ ) yang dapat Anda buat. Misalnya aturan serupa di bawah ini juga berlaku

Pasangan berhenti memiliki anak ketika mereka memiliki anak perempuan, atau memiliki dua anak

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

Dalam hal ini total anak yang diharapkan lebih mudah dihitung

Anak perempuan yang diharapkan dari satu pasangan Anak laki-laki yang diharapkan dari satu pasangan${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Seperti yang saya katakan ini berfungsi untuk aturan yang masuk akal yang bisa ada di dunia nyata. Aturan yang tidak masuk akal adalah aturan di mana anak-anak yang diharapkan per pasangan tidak terbatas. Misalnya "Orang tua hanya berhenti memiliki anak ketika mereka memiliki anak laki-laki dua kali lebih banyak daripada anak perempuan", kita dapat menggunakan teknik yang sama seperti di atas untuk menunjukkan bahwa aturan ini memberi anak tanpa batas:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Kita kemudian dapat menemukan jumlah orang tua dengan jumlah anak yang terbatas

Jumlah orangtua yang diharapkan dengan anak-anak hingga${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Batasi solusi dari wolfram}

Maka dari itu kita dapat menetapkan bahwa 82% orang tua akan memiliki jumlah anak yang tak terbatas; dari sudut pandang perencanaan kota ini mungkin akan menyebabkan kesulitan dan menunjukkan bahwa kondisi ini tidak bisa ada di dunia nyata.

Anda juga dapat menggunakan simulasi:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Memetakan hal ini membantu saya melihat dengan lebih baik bagaimana rasio populasi kelahiran (diasumsikan 1: 1) dan rasio populasi anak-anak keduanya 1: 1. Sementara beberapa keluarga akan memiliki banyak anak laki-laki tetapi hanya satu anak perempuan, yang awalnya membuat saya berpikir akan ada lebih banyak anak laki-laki daripada anak perempuan, jumlah keluarga tersebut tidak akan lebih besar dari 50% dan akan berkurang setengahnya dengan setiap anak tambahan, sementara jumlah keluarga dengan satu anak perempuan akan menjadi 50%. Jumlah anak laki-laki dan perempuan akan saling menyeimbangkan. Lihat total 175 di bagian bawah.

Apa yang Anda dapatkan adalah yang paling sederhana, dan jawaban yang benar. Jika probabilitas anak yang baru lahir menjadi anak laki-laki adalah p, dan anak-anak dari jenis kelamin yang salah tidak dipenuhi oleh kecelakaan yang tidak menguntungkan, maka tidak masalah jika orang tua membuat keputusan tentang memiliki lebih banyak anak berdasarkan jenis kelamin anak. Jika jumlah anak adalah N dan N besar, Anda dapat mengharapkan tentang p * N anak laki-laki. Tidak perlu perhitungan yang lebih rumit.

Tentu saja ada pertanyaan lain, seperti "berapa probabilitas bahwa anak bungsu dari sebuah keluarga dengan anak-anak adalah laki-laki", atau "berapa probabilitas bahwa anak tertua dari keluarga dengan anak-anak adalah laki-laki". (Salah satu dari ini memiliki jawaban yang benar sederhana, yang lain memiliki jawaban salah yang sederhana dan sulit mendapatkan jawaban yang benar).

Membiarkan

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

menjadi ruang sampel dan biarkan

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

menjadi variabel acak yang memetakan setiap hasil, , ke jumlah anak laki-laki yang terlibat. Nilai yang diharapkan dari anak laki-laki, , turun ke $\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$ ,

Secara sepele, nilai yang diharapkan dari anak perempuan adalah 1. Jadi rasionya juga 1.

Ini pertanyaan jebakan. Rasio tetap sama (1: 1). Jawaban yang benar adalah tidak mempengaruhi rasio kelahiran, tetapi mempengaruhi jumlah anak per keluarga dengan faktor pembatas rata-rata 2 kelahiran per keluarga.

Ini adalah jenis pertanyaan yang mungkin Anda temukan pada tes logika. Jawabannya bukan tentang rasio kelahiran. Itu gangguan.

Ini bukan pertanyaan probabilitas, tetapi pertanyaan penalaran kognitif. Bahkan jika Anda menjawab rasio 1: 1, Anda masih gagal dalam tes.

Saya menunjukkan kode yang saya tulis untuk simulasi Monte Carlo (500x1000 keluarga) menggunakan perangkat lunak `MATLAB '. Tolong cermati kodenya sehingga saya tidak melakukan kesalahan.

Hasilnya dihasilkan dan diplot di bawah ini. Ini menunjukkan probabilitas kelahiran anak perempuan yang disimulasikan memiliki perjanjian yang sangat baik dengan probabilitas kelahiran alami yang mendasari terlepas dari aturan penghentian untuk berbagai probabilitas kelahiran alami.

Bermain-main dengan kode itu lebih mudah untuk memahami satu hal yang saya tidak cukup lakukan sebelumnya --- seperti yang ditunjukkan orang lain, aturan penghentian adalah gangguan. Aturan penghentian hanya mempengaruhi jumlah keluarga yang diberikan populasi tetap, atau dari sudut pandang lain jumlah kelahiran anak yang diberikan jumlah keluarga tetap. Jenis kelamin semata-mata ditentukan oleh dadu roll dan karenanya rasio atau probabilitas (yang tidak tergantung pada jumlah anak) semata-mata akan tergantung pada anak laki-laki alami: rato kelahiran anak perempuan.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

Biarkan variabel acak yang menunjukkan anak di negara menjadi mengambil nilai 1 dan 0 jika masing-masing anak laki-laki atau perempuan. Asumsikan bahwa probabilitas marjinal bahwa setiap kelahiran adalah laki-laki atau perempuan adalah .$i^{th}$$X_i$$0.5$

Jumlah anak laki-laki di negara yang diharapkan = (di mana adalah jumlah anak di negara itu.)$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

Demikian pula jumlah gadis yang diharapkan = .$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

Kemandirian kelahiran tidak relevan untuk perhitungan nilai yang diharapkan.

---

Jawaban Apropos @ whuber, jika ada variasi probabilitas marginal di seluruh keluarga, rasio menjadi condong ke arah anak laki-laki, karena ada lebih banyak anak dalam keluarga dengan probabilitas anak laki-laki lebih tinggi daripada keluarga dengan probabilitas lebih rendah, sehingga memiliki efek augmentatif dari jumlah nilai yang diharapkan untuk anak laki-laki.

Saya secara mandiri juga memprogram simulasi di matlab, sebelum melihat apa yang dilakukan orang lain. Sebenarnya ini bukan MC karena saya hanya menjalankan percobaan sekali. Tetapi sekali sudah cukup untuk mendapatkan hasil. Inilah hasil simulasi saya. Saya tidak mengambil pendirian tentang kemungkinan kelahiran p = 0,5 sebagai primitif. Saya membiarkan probabilitas kelahiran bervariasi pada rentang Pr (Anak Laki-Laki = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

Hasil saya menunjukkan bahwa ketika probabilitas menyimpang dari p = 0,5, rasio jenis kelamin berbeda dari 1: dalam harapan rasio jenis kelamin hanyalah rasio probabilitas kelahiran anak laki-laki dengan probabilitas kelahiran anak perempuan. Yaitu, ini adalah variabel acak geometris seperti yang diidentifikasi sebelumnya oleh @ månst. Ini adalah apa yang saya percaya poster asli itu intuitif.

Hasil saya sangat mirip dengan apa yang telah dilakukan poster di atas dengan kode matlab, sesuai dengan rasio jenis kelamin pada probabilitas 0,45, 0,50, dan 0,55 bahwa seorang anak laki-laki dilahirkan. Saya mempresentasikan milik saya karena saya mengambil pendekatan yang sedikit berbeda untuk mendapatkan hasil dengan kode yang lebih cepat. Untuk menyelesaikan perbandingan, saya menghapus bagian kode vec = vec (randperm (s, N)) karena s tidak didefinisikan dalam kode mereka dan saya tidak tahu maksud asli dari variabel ini (bagian kode ini juga tampaknya berlebihan - seperti aslinya dinyatakan).

Saya memposting kode saya

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Grafik berikut ini diharapkan diberikan hukum kuat jumlah besar. Saya mereproduksinya, tetapi grafik yang penting adalah grafik kedua.

Di sini, probabilitas populasi selain 0,5 untuk kelahiran jenis kelamin anak akan mengubah rasio jenis kelamin dalam populasi keseluruhan. Dengan asumsi bahwa kelahiran adalah independen (tetapi bukan pilihan untuk terus bereproduksi), dalam setiap putaran reproduksi bersyarat probabilitas populasi mengatur keseluruhan hasil dari kelahiran anak laki-laki dan perempuan. Jadi seperti yang telah disebutkan orang lain, aturan penghentian dalam masalah tidak berpengaruh pada hasil populasi, seperti dijawab oleh poster yang mengidentifikasi ini sebagai distribusi geometris.

Untuk kelengkapan, apa yang diberlakukan aturan pemberhentian adalah jumlah putaran reproduksi dalam populasi. Karena saya hanya menjalankan eksperimen satu kali, grafiknya agak bergerigi. Tetapi intuisi ada di sana: untuk ukuran populasi tertentu, ketika probabilitas kelahiran anak perempuan meningkat, kita melihat bahwa keluarga membutuhkan lebih sedikit putaran reproduksi untuk mendapatkan gadis yang diinginkan sebelum seluruh populasi berhenti bereproduksi (jelas jumlah putaran akan tergantung pada ukuran populasi, karena secara mekanis meningkatkan kemungkinan bahwa suatu keluarga akan memiliki, misalnya, 49 anak laki-laki sebelum mereka mendapatkan anak perempuan pertama mereka)

Perbandingan antara rasio jenis kelamin saya yang dihitung:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

dan orang-orang dari poster sebelumnya dengan kode matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Mereka adalah hasil yang setara.

Itu tergantung jumlah keluarga.

Misalkan adalah jumlah anak dalam keluarga, itu adalah variabel acak geometris dengan , yaitu yang menyiratkan$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

Misalkan ada keluarga di negara ini, rasio gadis adalah $N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

Karena (hukum jumlah besar), rasio akan mencakup 1/2 jika .$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

Jika hanya ada keluarga terbatas, misalkan adalah jumlah total anak-anak di negara ini: , maka memiliki distribusi binomial negatif dengan pmf $T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

Ini menyiratkan mana adalah fungsi hypergeometric.2F

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

Karenanya rasio gadis yang diharapkan adalah .${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$