MLE dari parameter lokasi dalam distribusi Cauchy

Setelah pemusatan, dua pengukuran x dan −x dapat diasumsikan sebagai pengamatan independen dari distribusi Cauchy dengan fungsi kerapatan probabilitas:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Tunjukkan bahwa jika MLE dari adalah 0, tetapi jika ada dua MLE's dari , sama dengan ± $x^2≤ 1$ $\theta$ $x^2>1$ $\theta$ $\sqrt {x^2-1}$

Saya pikir untuk menemukan MLE saya harus membedakan kemungkinan log:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ + $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Begitu,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

yang kemudian saya sederhanakan

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Sekarang saya telah menabrak dinding. Saya mungkin salah pada beberapa titik, tapi bagaimanapun saya tidak yakin bagaimana menjawab pertanyaan. Adakah yang bisa membantu?

— pengguna123965
sumber

Tolong, jelaskan mengapa Anda membagi x menjadi -x dan + x? Ini adalah pekerjaan rumah saya dan saya terjebak pada langkah itu. Saya kira Anda menerapkan Metode Raphson Newton untuk itu. Tapi saya tidak mengerti bagaimana cara menerapkannya. Tolong, beri tahu saya?

— user89929

Ada kesalahan ketik matematika dalam perhitungan Anda. Kondisi pesanan pertama untuk maksimum adalah:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

If $x^2\leq 1$ then the term in the parenthesis cannot be zero (for real solutions of course), so you are left only with the solution $\hat \theta =0$ .

If $x^2 >1$ you have $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ so, apart from the candidate point $\theta =0$ you also get

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0, untuk \hat{θ} = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

Anda juga harus membenarkan alasan dalam hal ini $\hat \theta =0$ tidak lagi menjadi MLE.

TAMBAHAN

Untuk $x =\pm 0.5$ grafik log-kemungkinannya adalah enter image description here

sementara untuk $x =\pm 1.5$ grafik log-kemungkinan adalah, enter image description here

Sekarang yang harus Anda lakukan adalah membuktikannya secara aljabar dan kemudian bertanya-tanya "baiklah - sekarang mana dari keduanya yang harus saya pilih?"

— Alecos Papadopoulos
sumber

Thanks! I can't see why

θ = 0

$\theta=0$ would no longer be an MLE though

— user123965

Work the 2nd order condition for a maximum, or evaluate the likelihood at the candidate solutions

— Alecos Papadopoulos

+1 great answer. Also, this might be interesting: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— random_user

@random_user Terima kasih! - Saya mengambil kebebasan untuk memasukkan plot dalam jawabannya.

— Alecos Papadopoulos

Turunan ke-2 positif jadi memang minimum lokal

— Alecos Papadopoulos