pengantar

Anda dapat melewati bagian ini jika Anda sudah tahu apa itu grup siklik.

Grup didefinisikan oleh set dan operasi biner asosiatif $(yaitu (a $ b) $ c = a $ (b $ c),. Ada persis satu elemen dalam grup di emana a $ e = a = e $ auntuk semua adalam grup ( identitas ). Untuk setiap elemen adalam grup ada persis satu bsehingga a $ b = e = b $ a( invers ) Untuk setiap dua elemen a, bdalam grup, a $ bada dalam grup ( penutupan ).

Kita bisa menulis a^ndi tempat a$a$a$...$a.

Subkelompok siklik yang dihasilkan oleh setiap elemen adalam grup adalah di <a> = {e, a, a^2, a^3, a^4, ..., a^(n-1)}mana nurutan (ukuran) dari subkelompok (kecuali jika subkelompok tersebut tidak terbatas).

Grup adalah siklik jika dapat dihasilkan oleh salah satu elemennya.

Tantangan

Mengingat tabel Cayley (tabel produk) untuk grup terbatas, tentukan apakah itu siklik atau tidak.

Contoh

Mari kita lihat tabel Cayley berikut:

1 2 3 4 5 6
2 3 1 6 4 5
3 1 2 5 6 4
4 5 6 1 2 3
5 6 4 3 1 2
6 4 5 2 3 1

(Ini adalah tabel Cayley untuk Dihedral Group 3, D_3).

Ini adalah 1-diindeks, jadi jika kita ingin menemukan nilai 5 $ 3, kita melihat di kolom kelima pada baris ketiga (perhatikan bahwa operator tidak selalu komutatif, jadi 5 $ 3tidak harus sama dengan 3 $ 5. Kita lihat di sini bahwa 5 $ 3 = 6(juga yang 3 $ 5 = 4).

Kita dapat menemukannya <3>dengan mulai dengan [3], dan kemudian sementara daftar itu unik, tambahkan produk dari elemen terakhir dan generator (3). Kami mendapatkan [3, 3 $ 3 = 2, 2 $ 3 = 1, 1 $ 3 = 3]. Kami berhenti di sini dengan subkelompok {3, 2, 1}.

Jika Anda menghitung <1>melalui <6>Anda akan melihat bahwa tidak ada elemen dalam grup yang menghasilkan seluruh grup. Dengan demikian, grup ini bukan siklik.

Uji Kasus

Input akan diberikan sebagai matriks, output sebagai nilai keputusan yang benar / salah.

[[1,2,3,4,5,6],[2,3,1,6,4,5],[3,1,2,5,6,4],[4,5,6,1,2,3],[5,6,4,3,1,2],[6,4,5,2,3,1]] -> False (D_3)
[[1]] -> True ({e})
[[1,2,3,4],[2,3,4,1],[3,4,1,2],[4,1,2,3]] -> True ({1, i, -1, -i})
[[3,2,4,1],[2,4,1,3],[4,1,3,2],[1,3,2,4]] -> True ({-1, i, -i, 1})
[[1,2],[2,1]] -> True ({e, a} with a^-1=a)
[[1,2,3,4,5,6,7,8],[2,3,4,1,6,7,8,5],[3,4,1,2,7,8,5,6],[4,1,2,3,8,5,6,7],[5,8,7,6,1,4,3,2],[6,5,8,7,2,1,4,3],[7,6,5,8,3,2,1,4],[8,7,6,5,4,3,2,1]] -> False (D_4)
[[1,2,3,4,5,6],[2,1,4,3,6,5],[3,4,5,6,1,2],[4,3,6,5,2,1],[5,‌​6,1,2,3,4],[6,5,2,1,‌​4,3]] -> True (product of cyclic subgroups of order 2 and 3, thanks to Zgarb)
[[1,2,3,4],[2,1,4,3],[3,4,1,2],[4,3,1,2]] -> False (Abelian but not cyclic; thanks to xnor)

Anda akan dijamin bahwa input selalu berupa grup.

Anda dapat mengambil input sebagai nilai yang diindeks 0.

J , 8 byte

1:e.#@C.

Cobalah online!

Penjelasan

1:e.#@C.  Input: matrix M
      C.  Convert each row from a permutation to a list of cycles
    #@    Number of cycles in each row
1:        Constant function 1
  e.      Is 1 a member of the cycle lengths?

Sekam , 11 10 9 byte

VS≡`ȯU¡!1

Berbasis 1. Mengembalikan indeks generator jika ada, 0 sebaliknya. Cobalah online!

Penjelasan

V          Does any row r of the input satisfy this:
      ¡!    If you iterate indexing into r
   `    1   starting with 1
    ȯU      until a repetition is encountered,
 S≡         the result has the same length as r.

Jelly , 13 11 byte

ị"⁸$ÐĿ«/E€Ẹ

Cobalah online!

JavaScript (ES6), 52 byte

a=>a.some(b=>!a[new Set(a.map(_=>r=b[r],r=0)).size])

Python 2 , 96 91 97 byte

lambda x:any(g(r,r[i],i+1)==len(r)for i,r in enumerate(x))
g=lambda x,y,z:y==z or 1+g(x,x[y-1],z)

Cobalah online!

Jelly , 15 byte

JŒ!ị@€µṂ⁼Jṙ'’$$

Cobalah online!

Gagasan konyol pertama yang muncul di benak: periksa isomorfisma sampai Z _n . (Kode ini adalah O (n!) ...)

JŒ!ị@€             Generate all ways to denote this group.
                     (by indexing into every permutation of 1…n)
      µṂ⁼          Is the smallest one equal to this?
         Jṙ'’$$      [[1 2 …  n ]
                      [2 3 …  1 ]    (the group table for Z_n)
                      [… … …  … ]
                      [n 1 … n-1]]

R , 101 97 byte

function(m)any(sapply(1:(n=nrow(m)),function(x)all(1:n%in%Reduce(`[`,rep(list(m[x,]),n),x,T,T))))

Verifikasi semua kasus uji

Ini hanya menghitung <g>untuk masing-masing g \in Gdan kemudian menguji jika G \subseteq <g>, lalu memeriksa apakah ada yang benar. Namun, karena kami selalu menerapkan $gdi sebelah kanan, kami mereplikasi m[g,]( gbaris ke - th) dan kemudian mengindeks ke baris itu dengan hasil penerapan $g, mengumpulkan hasil daripada menggunakan m[g,g$g]setiap waktu, yang menghemat sekitar 4 byte.

Clojure, 68 byte

#(seq(for[l % :when(apply distinct?(take(count l)(iterate l 0)))]l))

Python 2 , 82 byte

lambda A:len(A)in[len(set(reduce(lambda a,c:a+[A[a[-1]][n]],A,[n])))for n in A[0]]

Cobalah online!

Tabel Cayley terindeks 0 adalah input; Output Benar / Salah untuk grup siklik / non-siklik.