pengantar

Hari ini kita akan menangani kutukan siswa aljabar linear tahun pertama: ketegasan matriks! Tampaknya ini belum memiliki tantangan, jadi mari kita mulai:

Memasukkan

• A Matriks simetris dalam format apa pun yang nyaman (Anda tentu saja juga dapat mengambil bagian atas atau bawah dari matriks)$n\times n$ $A$
• Secara opsional: ukuran matriks$n$

Apa yang harus dilakukan?

Tantangannya sederhana: Diberikan matriks bernilai nyata Matriks memutuskan apakah itu pasti positif dengan mengeluarkan nilai kebenaran jika demikian dan nilai palsu jika tidak.$n\times n$

Anda dapat mengasumsikan built-in Anda benar-benar berfungsi secara tepat dan karenanya tidak harus memperhitungkan masalah numerik yang dapat mengarah pada perilaku yang salah jika strategi / kode "terbukti" harus menghasilkan hasil yang benar.

Yang menang?

Ini adalah kode-golf , jadi kode terpendek dalam byte (per-bahasa) menang!

---

Apa itu Matriks definitif positif?

Rupanya ada 6 formulasi yang setara ketika sebuah matriks simetris adalah positif-pasti. Saya akan mereproduksi tiga yang lebih mudah dan merujuk Anda ke Wikipedia untuk yang lebih kompleks.

• Jika maka adalah pasti-positif. Ini dapat dirumuskan ulang sebagai: Jika untuk setiap vektor bukan nol (standar) produk titik dan adalah positif maka adalah pasti-positif.$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$$A$v v A v A
  
  $v$$v$$Av$$A$
• Biarkan menjadi nilai eigen dari , jika sekarang (itu saja nilai eigen adalah positif) maka adalah positif-pasti. Jika Anda tidak tahu apa nilai eigennya, saya sarankan Anda menggunakan mesin pencari favorit Anda untuk mengetahuinya, karena penjelasan (dan strategi perhitungan yang diperlukan) terlalu lama untuk dimuat dalam pos ini.$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$A ∀ i ∈ { 1 , … , n } : λ i > 0 A$A$$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$$A$
  
• Jika Cholesky-penguraian dari ada, yaitu terdapat matriks yang lebih rendah-segitiga sehingga maka adalah positif-pasti. Perhatikan bahwa ini setara dengan "false" yang dikembalikan lebih awal jika pada suatu saat perhitungan root selama algoritma gagal karena argumen negatif.$A$$L$$LL^T=A$$A$

Contohnya

Untuk hasil yang benar

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Untuk output falsey

(setidaknya satu nilai eigen adalah 0 / positif semi-pasti)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(nilai eigen memiliki tanda yang berbeda / tidak terbatas)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(semua nilai eigen lebih kecil dari 0 / negatif pasti)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(semua nilai eigen lebih kecil dari 0 / negatif pasti)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(semua nilai eigen lebih kecil dari 0 / negatif pasti)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(tiga positif, satu nilai eigen negatif / tidak terbatas)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 byte

Terima kasih -1 byte untuk Logern
-3 byte berkat ceilingcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

Cobalah online!

Melakukan eliminasi Gaussian dan memeriksa apakah semua elemen diagonal positif (kriteria Sylvester). Argumen nadalah ukuran dari matriks minus satu.

MATLAB / Oktaf , 19 17 12 byte

@(A)eig(A)>0

Cobalah online!

Function eig menyediakan nilai eigen dalam urutan naik, jadi jika nilai eigen pertama lebih besar dari nol, yang lainnya juga.

Jelly , 11 10 byte

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Menggunakan kriteria Sylvester .

Cobalah online!

Bagaimana itu bekerja

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 byte

function(m)all(eigen(m)$va>0)

Cobalah online!

---

Alternatif menggunakan cholesky:

R , 34 33 byte

function(m)is.array(try(chol(m)))

Cobalah online!

-1 byte terima kasih kepada @Giuseppe

Haskell , 56 byte

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

Cobalah online!

Pada dasarnya sebuah port jawaban nwellnhof . Melakukan eliminasi gaussian dan memeriksa apakah elemen-elemen pada diagonal utama positif.

Gagal output falsey pertama karena kesalahan pembulatan, tetapi secara teoritis akan bekerja dengan presisi tak terbatas. Berkat saran Curtis Bechtel , sekarang semua hasilnya benar.

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 20 byte

0<Min@Eigenvalues@#&

Cobalah online!

MATL , 4 byte

Yv0>

Cobalah online!

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 byte

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Definisi 2.

Julia 1.0 , 28 byte

using LinearAlgebra
isposdef

Cobalah online!

---

Julia 0,6 , 8 byte

isposdef

Cobalah online!

MATL , 6 byte

Dimungkinkan untuk melakukannya menggunakan byte yang lebih sedikit, @Mr. Xcoder berhasil menemukan jawaban MATL 5 byte !

YvX<0>

Penjelasan

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

Cobalah online!

Maple , 33 byte

(yaitu 2 sen saya)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 byte

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

Cobalah online!