Kelompok dihedral $D_4$ adalah kelompok simetri dari alun-alun, yang bergerak yang mengubah persegi untuk dirinya sendiri melalui rotasi dan refleksi. Ini terdiri dari 8 elemen: rotasi dengan 0, 90, 180, dan 270 derajat, dan refleksi melintasi sumbu horizontal, vertikal, dan dua diagonal.

Gambar-gambar tersebut semuanya berasal dari halaman indah oleh Larry Riddle.

Tantangan ini adalah tentang menyusun gerakan ini: diberi dua gerakan, mengeluarkan gerakan yang setara dengan melakukannya satu per satu. Misalnya, melakukan langkah 7 diikuti dengan langkah 4 sama dengan melakukan langkah 5.

Perhatikan bahwa beralih urutan untuk bergerak 4 lalu bergerak 7 menghasilkan langkah 6 sebagai gantinya.

Hasilnya ditabulasikan di bawah ini; ini adalah tabel Cayley dari grup $D_4$ . Jadi misalnya, input $7, 4$ harus menghasilkan output $5$ .

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6\\ 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 & 8 & 7\\ 4 & 1 & 2 & 3 & 7 & 8 & 6 & 5\\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 6 & 8 & 5 & 7 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 7 & 6 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 8 & 5 & 7 & 6 & 2 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Tantangan

Tujuan Anda adalah untuk mengimplementasikan operasi ini sesedikit mungkin byte, tetapi selain kode, Anda juga memilih label yang mewakili gerakan 1 hingga 8. Label harus terdiri dari 8 angka berbeda dari 0 hingga 255 , atau 8 karakter -byte mewakili titik kode mereka.

Kode Anda akan diberikan dua label dari 8 yang Anda pilih, dan harus menampilkan label yang sesuai dengan komposisi mereka di grup dihedral $D_4$ .

Contoh

Katakanlah Anda telah memilih karakter C, O, M, P, U, T, E, R untuk masing-masing bergerak 1 hingga 8. Kemudian, kode Anda harus mengimplementasikan tabel ini.

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} \, C \, & \, O \, & M \, & P \, & U \, & \, T \, & \, E \, & R \, \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} C \\ O \\ M \\ P \\ U \\ T \\ E \\ R \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} C & O & M & P & U & T & E & R \\ O & M & P & C & R & E & U & T\\ M & P & C & O & T & U & R & E\\ P & C & O & M & E & R & T & U\\ U & E & T & R & C & M & O & P\\ T & R & U & E & M & C & P & O\\ E & T & R & U & P & O & C & M\\ R & U & E & T & O & P & M & C\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Diberikan input E dan P, Anda harus menampilkan U. Input Anda akan selalu dua huruf C, O, M, P, U, T, E, R, dan output Anda harus selalu salah satu dari huruf-huruf ini.

Tabel teks untuk disalin

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 7 5 6
3 4 1 2 6 5 8 7
4 1 2 3 7 8 6 5
5 7 6 8 1 3 2 4
6 8 5 7 3 1 4 2
7 6 8 5 4 2 1 3
8 5 7 6 2 4 3 1

Ruby , 18 byte

->a,b{a+b*~0**a&7}

Tidak disatukan

->a,b{ (a+b*(-1)**a) % 8}  
# for operator precedence reasons, 
#-1 is represented as ~0 in the golfed version 

Cobalah online!

Gunakan nomor kode berikut 0 hingga 7

Agar asli ke kode:

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
1 /        flip in y=x               7E
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
3 /|/      flip in x axis            5U
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
5 /|/|/    flip in y=-x              8R
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T

Agar per pertanyaan

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
3 /|/      flip in x axis            5U
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T
1 /        flip in y=x               7E
5 /|/|/    flip in y=-x              8R

Penjelasan

/mewakili flip di garis y=xdan |mewakili flip di sumbu y.

Dimungkinkan untuk menghasilkan salah satu simetri dari grup D4 dengan membalik secara bergantian dalam dua garis ini. Misalnya /diikuti dengan |memberi /|yang merupakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam.

Jumlah total flips berturut-turut memberikan representasi yang sangat nyaman untuk manipulasi aritmatika.

Jika langkah pertama adalah rotasi, kita cukup menambahkan jumlah flips:

Rotate 90 degrees   +  Rotate 180 degrees = Rotate 270 degrees
/|                     /|/|                 /|/|/|

Rotate 90 degress   +  Flip in y=x        = Flip in x axis   
/|                    /                     /|/

Jika langkah pertama adalah refleksi, kami menemukan kami memiliki beberapa refleksi /dan |simbol yang identik di sebelah satu sama lain. Karena refleksi adalah terbalik sendiri, kita dapat membatalkan membalik ini satu per satu. Jadi kita perlu mengurangi satu gerakan dari yang lain

Flip in x axis     +  Flip in y=x        = Rotate 90 degrees
/|/                   /                    /|/ / (cancels to) /|

Flip in x axis     +  Rotate 90 degrees  = Flip in y=x
/|/                   /|                   /|/ /| (cancels to ) / 

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 31 byte

Menggunakan bilangan bulat $0, 5, 2, 7, 1, 3, 6, 4$ sebagai label.

BitXor[##,2Mod[#,2]⌊#2/4⌋]&

Cobalah online!

Penjelasan:

The Dihedral Kelompok $D_4$ isomorfis ke kelompok matriks unitriangular derajat tiga di atas lapangan $\mathbb{F}_2$ :

$$D_4 \cong U(3,2) := \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{F}_2\right\}.$$

Dan kita mempunyai

$$\begin{pmatrix} 1 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a_2 & b_2 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a_1+a_2 & b_1+b_2+a_1c_2 \\ 0 & 1 & c_1+c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

yang dapat dengan mudah ditulis dalam operasi bitwise.

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 51 byte

⌊#/4^IntegerDigits[#2,4,4]⌋~Mod~4~FromDigits~4&

Cobalah online!

Menggunakan label {228, 57, 78, 147, 27, 177, 198, 108}.

Ini ada {3210, 0321, 1032, 2103, 0123, 2301, 3012, 1230}di basis 4. Untungnya, 256 = 4 ^ 4.

---

Implementasi tingkat bawah, juga 51 byte

Sum[4^i⌊#/4^⌊#2/4^i⌋~Mod~4⌋~Mod~4,{i,0,3}]&

Cobalah online!

Python 2 , 22 byte

Port jawaban Mathematica saya . Menggunakan bilangan bulat $0, 6, 1, 7, 2, 3, 5, 4$

lambda a,b:a^b^a/2&b/4

Cobalah online!

Python 2 , 26 23 21 byte

lambda x,y:y+x*7**y&7

Cobalah online! Port jawaban saya untuk Cayley Table dari Grup Dihedral $D_3$ . Sunting: Disimpan 3 byte berkat @NieDzejkob. Disimpan 2 byte berkat @xnor untuk menyarankan operator and(bukan xnor). Gunakan pemetaan berikut:

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

TI-BASIC, 165 byte

Ans→L₁:{.12345678,.23417865,.34126587,.41238756,.58671342,.67583124,.75862413,.86754231→L₂:For(I,1,8:10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8:List▶matr(Ans,[B]:If I=1:[B]→[A]:If I-1:augment([A],[B]→[A]:End:[A](L₁(1),L₁(2

Input adalah daftar panjang dua in Ans .
Output adalah angka pada (row, column)indeks dalam tabel.

Mungkin ada metode kompresi yang lebih baik yang akan menghemat byte, tetapi saya harus memeriksanya.

Contoh:

{1,2
           {1 2}
prgmCDGF1B
               2
{7,4
           {7 4}
prgmCDGF1B
               5

Penjelasan:
(Baris baru telah ditambahkan untuk dibaca.)

Ans→L₁                              ;store the input list into L₁
{.123456 ... →L₂                    ;store the compressed matrix into L₂
                                    ; (line shortened for brevity)
For(I,1,8                           ;loop 8 times
10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8  ;decompress the "I"-th column of the matrix
List▶matr(Ans,[B]                   ;convert the resulting list into a matrix column and
                                    ; then store it into the "[B]" matrix variable
If I=1                              ;if the loop has just started...
[B]→[A]                             ;then store this column into "[A]", another matrix
                                    ; variable
If I-1                              ;otherwise...
augment([A],[B]→[A]                 ;append this column onto "[A]"
End
[A](L₁(1),L₁(2                      ;get the index and keep it in "Ans"
                                    ;implicit print of "Ans"

Berikut ini adalah solusi 155 byte , tetapi hanya hardcodes matriks dan mendapat indeks.
Saya merasa ini lebih membosankan, jadi saya tidak membuatnya sebagai pengajuan resmi:

Ans→L₁:[[1,2,3,4,5,6,7,8][2,3,4,1,8,7,5,6][3,4,1,2,6,5,8,7][4,1,2,3,7,8,6,5][5,7,6,8,1,3,2,4][6,8,5,7,3,1,4,2][7,6,8,5,4,2,1,3][8,5,7,6,2,4,3,1:Ans(L₁(1),L₁(2

---

Catatan: TI-BASIC adalah bahasa tokenized. Jumlah karakter tidak sama dengan jumlah byte.

Jelly , 6 byte

N⁹¡+%8

Tautan diad menerima transformasi pertama di kanan dan transformasi kedua di sebelah kiri yang menghasilkan transformasi komposit.

Di mana transformasi adalah:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  0    2    4    6    1    5    7    3

Cobalah online! ... Atau lihat tabel dipetakan kembali ke label pada pertanyaan .

(Argumen dapat diambil dalam urutan lain menggunakan 6 byter, _+Ḃ?%8)

Bagaimana?

Setiap label adalah panjang urutan bolak-balik hordan +vetransformasi yang setara dengan transformasi (misalnya 180setara dengan hor, +ve, hor, +ve).

Komposisi A,Bini setara dengan gabungan dari dua sekuens yang setara, dan memungkinkan penyederhanaan untuk pengurangan atau penambahan modulo delapan ...

Menggunakan contoh pertanyaan yang 7, 4kami miliki +ve, 90cyaitu:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve

... tapi karena hor, horini idkita memiliki:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve , +ve, hor, +ve, hor, +ve

... dan karena +ve, +veitu idkita punya:
hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve

... dan kami dapat mengulangi pembatalan ini ke:
hor
..setara dengan pengurangan panjang ( 7-6=1).

Ketika tidak ada pembatalan mungkin kami hanya menambahkan panjangnya (seperti 90a, 180 $\rightarrow$ 2+4=6 $\rightarrow$ 90c).

Terakhir, perhatikan bahwa urutan panjang delapan adalah idsehingga kita dapat mengambil panjang urutan yang dihasilkan modulo delapan.

N⁹¡+%8 - Link: B, A
  ¡    - repeat (applied to chain's left argument, B)...
 ⁹     - ...times: chain's right argument, A
N      - ...action: negate  ...i.e. B if A is even, otherwise -B
   +   - add (A)
    %8 - modulo eight

---

Ini juga 1 byte lebih pendek dari implementasi ini menggunakan indeks permutasi leksikografis:

œ?@ƒ4Œ¿

... Tautan monadik yang menerima [first, second], dengan label:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  1   10   17   19   24    8   15    6

JavaScript (Node.js) , 22 17 byte

(x,y)=>y+x*7**y&7

Cobalah online! Port jawaban saya untuk Cayley Table dari Grup Dihedral$D_3$tapi menggunakan saran pada jawaban Python saya. Gunakan pemetaan berikut:

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

Versi JavaScript yang lebih lama dapat didukung dalam beberapa cara selama 22 byte:

(x,y)=>(y&1?y-x:y+x)&7
(x,y)=>y-x*(y&1||-1)&7
(x,y)=>y+x*(y<<31|1)&7

Karat , 16 byte

|a,b|a^b^a/2&b/4

Cobalah online!

Port jawaban Python alephalpha. Tapi lebih pendek.

Elm , 42 byte 19 byte

\a b->and 7<|b+a*7^b

Port versi Neode Node.js

Cobalah online

Versi sebelumnya:

\a b->and 7<|if and 1 a>0 then a-b else a+b

Python, 82 71 byte

0-7

-11 byte berkat ASCII saja

lambda a,b:int("27pwpxvfcobhkyqu1wrun3nu1fih0x8svriq0",36)>>3*(a*8+b)&7

TIO

Scala , 161 byte

Memilih KOMPUTER sebagai label.

val m="0123456712307645230154763012675446570213574620316574310274651320"
val s="COMPUTER"
val l=s.zipWithIndex.toMap
def f(a: Char, b: Char)=s(m(l(a)*8+l(b))-48)

Cobalah online!

Scala , 70 byte

Memilih 0-7 bilangan bulat asli sebagai label.

Dikompresi matriks menjadi string ASCII 32 byte, masing-masing pasangan angka n0, n1 menjadi 1 karakter c = n0 + 8 * n1 + 49. Mulai dari 49 hingga yang kita tidak miliki \ dalam string yang disandikan.

(a:Int,b:Int)=>"9K]oB4h]K9Vh4BoVenAJne3<_X<AX_J3"(a*4+b/2)-49>>b%2*3&7

Cobalah online!

C # (Visual C # Interactive Compiler) , 17 byte

a=>b=>a^b^a/2&b/4

Port jawaban Python alpehalpha.

Cobalah online!

Perl 6 , 19 byte

{($^x*7**$^y+$y)%8}

Pelabuhan Solusi Neil's Python .

Cobalah online!

Bahasa Wolfram (Mathematica), 7 byte (pengodean UTF-8)

#⊙#2&

Fungsi murni mengambil dua argumen. Simbol yang diberikan di sini sebagai⊙ adalah simbol Unicode pribadi milik Fatic (3 byte), yang mewakili fungsiPermutationProduct .

Mathematica tahu tentang kelompok dihedral, dan itu mewakili elemen dari berbagai kelompok sebagai permutasi, ditulis menggunakan Cyclesperintah. Misalnya, menjalankan perintah

GroupElements[DihedralGroup[4]]

menghasilkan output:

{Cycles[{}], Cycles[{{2, 4}}], Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], 
 Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 3}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}], 
 Cycles[{{1, 4, 3, 2}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}]}

PermutationProduct adalah fungsi yang mengalikan elemen grup ketika ditulis dalam formulir ini.

Karena kami diizinkan memilih label kami sendiri, fungsi ini mengasumsikan label ini untuk elemen grup; hubungan antara label-label ini dan label-label di pos masalah diberikan oleh:

Cycles[{}] -> 1
Cycles[{{1, 2, 3, 4}}] -> 2
Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}] -> 3
Cycles[{{1, 4, 3, 2}}] -> 4
Cycles[{{2, 4}}] -> 5
Cycles[{{1, 3}}] -> 6
Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}] -> 7
Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}] -> 8

tl; dr Ada bawaan.