Sebuah bidang dalam matematika adalah seperangkat angka, dengan operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan di atasnya, sehingga mereka memenuhi aksioma tertentu (yang dijelaskan dalam Wikipedia; lihat juga di bawah).

Bidang terbatas dapat memiliki elemen p ⁿ , di mana pbilangan prima, dan nbilangan alami. Dalam tantangan ini, mari kita ambil p = 2dan n = 8, jadi mari kita membuat bidang dengan 256 elemen.

Elemen-elemen bidang harus bilangan bulat berturut-turut dalam rentang yang berisi 0dan 1:

• -128 ... 127
• 0 ... 255
• atau rentang lain seperti itu

Tentukan dua fungsi (atau program, jika itu lebih mudah), a(x,y)untuk abstrak "penjumlahan", dan m(x,y)untuk "perkalian" abstrak, sedemikian rupa sehingga memenuhi bidang aksioma:

• Konsistensi: a(x,y)dan m(x,y)menghasilkan hasil yang sama ketika dipanggil dengan argumen yang sama
• Tertutup: Hasil adan mbilangan bulat dalam rentang yang relevan
• Asosiatif: untuk apa pun x, ydan zdalam kisaran, a(a(x,y),z)sama dengan a(x,a(y,z)); sama untukm
• Commutativity: untuk apa pun xdan ydalam kisaran, a(x,y)sama dengan a(y,x); sama untukm
• Distribusi: untuk apa pun x, ydan zdalam kisaran, m(x,a(y,z))sama dengana(m(x,y),m(x,z))
• Elemen netral: untuk apa pun xdalam rentang, a(0,x)sama dengan x, dan m(1,x)sama denganx
• Negasi: untuk setiap xdalam kisaran, terdapat seperti yitu a(x,y)adalah0
• Inverse: untuk setiap x≠0dalam kisaran, terdapat seperti yitu m(x,y)adalah1

Nama adan mhanya contoh; Anda dapat menggunakan nama lain, atau fungsi yang tidak disebutkan namanya. Skor jawaban Anda adalah jumlah byte-panjang untuk adan m.

Jika Anda menggunakan fungsi bawaan, harap juga jelaskan dengan kata-kata yang dihasilkannya (mis. Berikan tabel perkalian).

Intel x86-64 + AVX-512 + GFNI, 11 byte

add:
    C5 F0 57 C0     # vxorps     xmm0, xmm1, xmm0
    C3              # ret
mul:
    C4 E2 79 CF C1  # vgf2p8mulb xmm0, xmm0, xmm1
    C3              # ret

Menggunakan GF2P8MULBinstruksi baru pada Ice Lake CPU.

Instruksi mengalikan elemen dalam bidang hingga GF (2 ⁸ ), yang beroperasi pada byte (elemen lapangan) di operan sumber pertama dan byte yang sesuai dalam operan sumber kedua. GF bidang (2 ⁸ ) diwakili dalam representasi polinomial dengan polinomial reduksi x ⁸ + x ⁴ + x ³ + x + 1.

Python 2, 11 + 45 = 56 byte

Tambahan (11 byte):

int.__xor__

Perkalian (45 byte):

m=lambda x,y:y and m(x*2^x/128*283,y/2)^y%2*x

Membawa nomor input dalam kisaran [0 ... 255]. Penambahan hanya bitor XOR, perkalian adalah perkalian polinomial dengan koefisien dalam GF2 dengan petani Rusia .

Dan untuk memeriksa:

a=int.__xor__
m=lambda x,y:y and m(x*2^x/128*283,y/2)^y%2*x

for x in range(256):
    assert a(0,x) == a(x,0) == x
    assert m(1,x) == m(x,1) == x

    assert any(a(x,y) == 0 for y in range(256))

    if x != 0:
        assert any(m(x,y) == 1 for y in range(256))

    for y in range(256):
        assert 0 <= a(x,y) < 256
        assert 0 <= m(x,y) < 256
        assert a(x,y) == a(y,x)
        assert m(x,y) == m(y,x)

        for z in range(256):
            assert a(a(x,y),z) == a(x,a(y,z))
            assert m(m(x,y),z) == m(x,m(y,z))
            assert m(x,a(y,z)) == a(m(x,y), m(x,z))

JavaScript (ES6), 10 + 49 = 59 byte

a=(x,y)=>x^y
m=(x,y,p=0)=>x?m(x>>1,2*y^283*(y>>7),p^y*(x&1)):p

Domain adalah 0 ... 255. Sumber .

Hoon , 22 byte

[dif pro]:(ga 8 283 3)

Hoon sudah memiliki fungsi ++gayang menciptakan Galois Fields, untuk digunakan dalam implementasi AES. Ini mengembalikan tupel dari dua fungsi, bukannya menggunakan dua program.

Beroperasi di domain [0...255]

Testsuite:

=+  f=(ga 8 283 3)
=+  n=(gulf 0 255)

=+  a=dif:f
=+  m=pro:f

=+  %+  turn  n
    |=  x/@
    ?>  =((a 0 x) x)
    ?>  =((m 1 x) x)
    ~&  outer+x

    %+  turn  n
      |=  y/@
      ?>  =((a x y) (a y x))
      ?>  &((lte 0 (a x y)) (lte (a x y) 255))
      ?>  &((lte 0 (m x y)) (lte (m x y) 255))

      %+  turn  n
        |=  z/@
        ?>  =((a (a x y) z) (a x (a y z)))
        ?>  =((m x (a y z)) (a (m x y) (m x z)))
        ~
"ok"

Posting tabel perkalian akan sangat besar, jadi inilah beberapa testcas acak:

20x148=229
61x189=143
111x239=181
163x36=29
193x40=1

Kode mesin IA-32, 22 byte

"Multiplikasi", 18 byte:

33 c0 92 d1 e9 73 02 33 d0 d0 e0 73 02 34 1b 41
e2 f1

"Tambahan", 4 byte:

92 33 c1 c3

Ini membentang aturan sedikit: kode "multiplikasi" tidak memiliki kode keluar fungsi; itu bergantung pada "tambahan" kode yang ada di memori setelahnya, sehingga bisa "gagal". Saya melakukannya untuk mengurangi ukuran kode sebesar 1 byte.

Kode sumber (dapat dirakit oleh mlMS Visual Studio):

    TITLE   x

PUBLIC @m@8
PUBLIC @a@8

_TEXT   SEGMENT USE32
@m@8    PROC
    xor eax, eax;
    xchg eax, edx;
myloop:
    shr ecx, 1
    jnc sk1
    xor edx, eax
sk1:
    shl al, 1
    jnc sk2
    xor al, 1bh
sk2:
    inc ecx
    loop myloop
@m@8 endp

@a@8 proc
    xchg eax, edx;
    xor eax, ecx
    ret
@a@8    ENDP
_text ENDS
END

Algoritma adalah yang standar, yang melibatkan polinomial biasa x^8 + x^4 + x^3 + x + 1, diwakili oleh bilangan heksadesimal 1b. Kode "multiplikasi" mengakumulasi hasil di edx. Ketika selesai, itu jatuh ke kode tambahan, yang memindahkannya ke eax(register konvensional untuk menyimpan nilai kembali); yang xordengan ecxadalah no-op, karena pada saat itu ecxdihapus.

Salah satu fitur aneh adalah loop. Alih-alih memeriksa nol

cmp ecx, 0
jne myloop

menggunakan loopinstruksi khusus . Tetapi instruksi ini mengurangi loop "counter" sebelum membandingkannya dengan 0. Untuk mengkompensasi ini, kode meningkatkannya sebelum menggunakan loopinstruksi.

Mathematica 155 byte

f[y_]:=Total[x^Reverse@Range[0,Log[2,y]]*RealDigits[y,2][[1]]];o[q_,c_,d_]:=FromDigits[Reverse@Mod[CoefficientList[PolynomialMod[q[f@c,f@d],f@283],x],2],2]

Penerapan

(*
  in: o[Times, 202, 83]    out: 1
  in: o[Plus, 202, 83]     out: 153
*)

periksa tambahan:

(*
  in: BitXor[202, 83]      out: 153
*)

Lebih:

(*
  in: o[Times, #, #2] & @@@ {{20, 148}, {61, 189}, {111, 239}, {163, 36}, {193, 40}}
  out: {229, 143, 181, 29, 1}
*)

NB Harus dapat menggunakan salah satu {283, 285, 299, 301, 313, 319, 333, 351, 355, 357, 361, 369, 375, 379, 391, 395, 397, 415, 419, 425, 433, 445, 451, 463, 471, 477, 487, 499, 501, 505}dari 283.

Brainfuck, 28 karakter

Untungnya, Brainfuck standar melakukan semuanya modulo 256.

Tambahan [->+<]:, mengasumsikan bahwa input berada pada dua posisi pertama dari rekaman, menempatkan output pada posisi 0

Perkalian:, [->[->+>+<<]>[-<+>]<<]mengasumsikan bahwa input berada pada dua posisi pertama dari rekaman, menempatkan output pada posisi 3