Bagaimana cara kerja Transformasi Fourier 2D suatu gambar?

Saya mengerti bagaimana transformasi Fourier 1D memisahkan sinyal menjadi frekuensi komponennya, tapi saya mengalami kesulitan memahami bagaimana transformasi Fourier 2D mempengaruhi gambar 2D.

Dari pertanyaan lain , John Calsbeek menautkan ke sebuah makalah yang menarik tentang mengukur kualitas fungsi kebisingan . Ini menunjukkan berbagai fungsi noise dan transformasi Fourier masing-masing.

Apakah ini transformasi diskrit dari data piksel, atau transformasi kontinu dari fungsi interpolasi terus-menerus yang digunakan untuk menghasilkan noise pada titik-titik yang berubah-ubah?

Apakah bentuk annular mirip dengan mengambil transformasi 1D Fourier dari garis melalui pusat gambar di setiap sudut yang memungkinkan? Atau apakah transformasi untuk setiap sudut yang mungkin juga diukur di seluruh ruang 2D daripada hanya sepanjang garis melalui pusat? Saya mencoba merasakan intuisi tentang perubahan apa pada gambar input yang sesuai dengan perubahan apa pada transformasi Fourier.

noise fourier-transform

— trichoplax
sumber

Hanya untuk rasa ingin tahu orang-orang masa depan, Anda mungkin ingin menjadikan "pertanyaan lain" menjadi tautan ke pertanyaan itu.

— porglezomp

@porglezomp itu poin bagus - selesai.

— trichoplax

Transformasi Fourier 2D dilakukan dengan terlebih dahulu melakukan transformasi Fourier 1D pada setiap baris gambar, kemudian mengambil hasilnya dan melakukan transformasi Fourier 1D pada setiap kolom. Atau sebaliknya; itu tidak masalah.

Sama seperti transformasi Fourier 1D memungkinkan Anda untuk menguraikan suatu fungsi menjadi sejumlah (1D) gelombang sinus pada berbagai frekuensi, transformasi Fourier 2D menguraikan fungsi sebagai jumlah gelombang sinus 2D. Gelombang ini dapat memiliki frekuensi yang berbeda di sepanjang sumbu x dan y. Mereka secara umum memiliki bentuk:

\exp (i \cdot (k_{x} x + k_{y} y))

$\exp \bigl(i \cdot (k_x x + k_y y) \bigr)$

di mana dan adalah frekuensi sepanjang sumbu dan . Kedua nilai ini membentuk vektor yang disebut gelombang-vektor. Dalam domain spasial, gelombang berorientasi sepanjang dengan frekuensi sepanjang porosnya dari . $k_x$ $k_y$ $x$ $y$ $(k_x, k_y)$ $\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

Sama seperti untuk transformasi 1D Fourier, ada versi diskrit dan kontinu. Hasil dari transformasi 2D Fourier diskrit adalah matriks amplitudo kompleks untuk sekumpulan nilai diskrit . Ini biasanya divisualisasikan (seperti pada kertas yang Anda ) sebagai gambar di mana piksel pada koordinat mewakili amplitudo vektor gelombang tersebut. $(k_x, k_y)$ $(k_x, k_y)$

Jadi, bentuk annular dalam transformasi 2D Fourier menunjukkan invarian rotasi distribusi frekuensi (yaitu sama banyaknya amplitudo untuk gelombang di setiap arah), dengan kisaran sempit yang sempit (dari bagian dalam annulus ke luar). Dengan kata lain, makalah ini menggunakan transformasi Fourier untuk menunjukkan bahwa kebisingan mereka cukup isotropik dan terbatas pada pita.

— Nathan Reed
sumber

Saya suka bagaimana ini lebih sederhana daripada bentuk persamaan. Ada banyak yang harus dipelajari dalam DFT tentang bagaimana ini baik dan apa yang dapat ditingkatkan.

— MisterGeeky