Menunjukkan bahwa masalah dalam X bukanlah X-Complete

18

Teori Keberadaan Real ada di PSPACE , tapi saya tidak tahu apakah itu PSPACE-Complete . Jika saya percaya bukan itu masalahnya, bagaimana saya bisa membuktikannya?

Lebih umum, diberikan masalah dalam beberapa kompleksitas kelas X , bagaimana saya bisa menunjukkan bahwa itu bukan X-Lengkap ? Misalnya, X bisa NP , PSPACE , EXPTIME .

complexity-theory proof-techniques

— Dave Clarke
sumber

Tentu itu tidak mudah dan tidak ada yang bisa memberikan jawaban untuk bagian umum Anda :-) Saya punya terlalu banyak masalah. Saya tahu mereka NP tapi saya tidak tahu mereka NP-Lengkap atau tidak (tidak terlalu banyak orang lain).

16

Sebenarnya membuktikan bukan -complete (di bawah, katakanlah, pengurangan polinomial-waktu) akan sangat sulit dilakukan. $X$ $PSPACE$

Jika , maka semua non-sepele (yaitu, bukan dan bukan ) dan masalah tak terbatas di adalah -complete di bawah pengurangan waktu polinomial. Karena teori eksistensial real memiliki properti non-sepele dan tak terbatas ini, membuktikan bahwa itu bukan -lengkap akan menyiratkan . (Lihat jawaban untuk pertanyaan ini di CSTheory.SE untuk sketsa buktinya.) $P=PSPACE$ $\varnothing$ $\Sigma^{\star}$ $PSPACE$ $PSPACE$ $PSPACE$ $P \neq PSPACE$

— Ryan Williams
sumber

1

Tentu saja kelihatannya saya menggigit lebih dari yang bisa saya kunyah, jadi untuk berbicara.

— Dave Clarke

11

Masalah dalam bukanlah -complete jika ada masalah lain di yang tidak bisa dikurangi. Salah satu metode sederhana (tapi mungkin hanya efektif pada contoh sepele) akan membuktikan masalah Anda juga di beberapa kelas kompleksitas lainnya sehingga . $X$ $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

Misalnya, jika Anda ingin menunjukkan bahwa masalah Anda tidak lengkap, maka itu cukup untuk menunjukkan bahwa dalam , karena . Namun, jika Anda ingin menunjukkan bahwa masalah bukan -complete, maka itu tidak selalu cukup untuk menunjukkan bahwa itu ada di , karena tidak diketahui apakah atau tidak . $EXPTIME$ $P$ $P \subsetneq EXPTIME$ $NP$ $P$ $P = NP$

— Joe
sumber

3

Lihatlah jawaban yang diterima untuk pertanyaan ini pada MathOverflow, Apa teknik yang ada untuk menunjukkan bahwa masalah tidak lengkap NP? . Ini menjawab kasus ketika X = NP.

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

3

Seperti yang ditulis Ryan, membuktikan bahwa masalah itu tidak sulit tidak mudah.

Biarkan menjadi masalah dalam kelas kompleksitas dan ditutup pengurangan . Membuktikan bahwa bukan -hard wrt sama dengan memisahkan kelas kompleksitas yang diperoleh dengan mengambil penutupan wrt . Sekarang, jika sulit untuk kelas lain wrt , maka itu berarti memisahkan dari . Seperti yang Anda ketahui, tidak ada banyak hasil pemisahan. $Q$ $X$ $S$ $\leq$ $Q$ $X$ $\leq$ $Q$ $\leq$ $Q$ $Y$ $\leq$ $Y$ $X$

Dalam kasus Anda, , , dan . $X = \mathsf{PSpace}$ $\leq = \leq^\mathsf{P}_m$ $Y=\mathsf{P}$

Karena kami tidak dapat membuktikan hasil seperti saat ini (dengan kemungkinan Ryan :), sebagai pengganti membuktikan bahwa bukan , kami menunjukkan bahwa itu berada dalam kelas kompleksitas yang diyakini lebih kecil dari . Misalnya, jika Anda menunjukkan bahwa adalah dalam , maka itu akan diambil sebagai bukti kuat untuk tidak menjadi $Q$ $X$ $X$ $\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$ $\mathsf{PH}$ $Q$ $X$ -keras. (Dalam bahasa ahli logika, jika Anda tidak dapat membuktikan hasil tanpa syarat, coba buktikan yang bersyarat dengan asumsi yang sulit dibuktikan tetapi secara luas diyakini seperti ). $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$

— Kaveh
sumber