Apakah ada dua pohon rentang dari grafik sederhana selalu memiliki beberapa tepi yang sama?


24

Saya mencoba beberapa kasus dan menemukan dua pohon spanning dari grafik sederhana memiliki beberapa tepi yang sama. Maksudku, aku tidak bisa menemukan contoh balasan sejauh ini. Tapi aku juga tidak bisa membuktikan atau membantahnya. Bagaimana cara membuktikan atau menyangkal dugaan ini?

Jawaban:


46

Tidak, perhatikan grafik lengkap K4 :

Ini memiliki pohon merentang ujung-disjoint berikut: masukkan deskripsi gambar di sini


2
Anda dapat membuat masing-masing pohon planar dengan mengambil satu untuk menjadi bentuk- dan yang lain membentuk- Z . Anda dapat membuat semuanya planar dengan menggambar ujung dari sudut kanan atas ke sudut kiri bawah sebagai kurva keluar dari kotak. NZ
Akumulasi

K5K5K4

14

Untuk pembaca yang lebih tertarik, ada beberapa penelitian tentang dekomposisi grafik menjadi pohon span-disjoint edge .

Sebagai contoh, makalah-makalah klasik tentang Masalah Menguraikan Grafik menjadi n Faktor-Faktor yang Dihubungkan oleh WT Tutte dan Edge-disjoint spanning tree dari graf berhingga oleh C. St.JA Nash-Williams memberikan karakterisasi grafik yang mengandung k berpasangan edge-disjoint merentang pohon.

K4k+22k+1

K2n

Anda dapat mencari lebih banyak. Misalnya, pencarian Google untuk dekomposisi grafik menjadi spanning tree .


9

K4

Tidak, itu tidak benar bahwa dua pohon rentang dari grafik memiliki tepi yang sama.

Pertimbangkan grafik roda:

masukkan deskripsi gambar di sini

Anda dapat membuat spanning tree dengan tepi "di dalam" loop dan satu lagi dari loop luar.


3
tetapi loop luar tidak mencapai simpul tengah
amI

Anda benar, saya akan menghapus jawaban ini karena yang lain sudah cukup.
Gokul

10
Anda dapat memodifikasi ini dengan mengambil loop keluar minus beberapa "chord" ditambah beberapa "radius" dan pelengkapnya.
boboquack

Iya nih. Sebenarnya saya hanya melihat seperti itu. @ boboquack
Tn. Sigma.

3

Knn4
masukkan deskripsi gambar di sini

2

Knn4n42

2

  1. 22
  2. Apakah ada grafik selain roda atau roda sebagai subgrafnya yang merentang pohon dengan ujung yang terputus-putus?

Pertanyaan-pertanyaan ini dan selanjutnya telah dijawab dalam makalah yang saya kutip. Jika Anda tertarik, Anda bisa melihatnya.
Lulus. Jack

Terima kasih @ Apass. Jack, saya telah melihat jawaban Anda. Akan melihatnya.
Tuan Sigma.

1

K2k

G1={(v2saya,v2saya+1),(v2saya,v2saya+2),...,(v2k-2,v2k-1)},

G2={(v2saya+1,v2saya+2),(v2saya,v2saya),...(v2(k-1),v2(k-1))}

0saya<k

nn+1


0

Jika grafik memiliki jembatan (yaitu tepi yang penghapusannya memutus grafik), maka tepi ini harus dimiliki oleh setiap pohon rentang. Secara intuitif, jembatan adalah satu-satunya tepi yang menghubungkan dua titik akhir dan karenanya harus dimiliki oleh setiap subgraf yang terhubung.

Di sisi lain, jika tepi grafik termasuk dalam siklus, maka ada pohon spanning yang tidak mengandung tepi ini.

Jadi, jika setiap tepi grafik milik siklus, maka tidak ada tepi yang umum untuk semua pohon spanning (yaitu, persimpangan set tepi pohon spanning adalah set kosong).

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.