Apakah ada dua pohon rentang dari grafik sederhana selalu memiliki beberapa tepi yang sama?

24

Saya mencoba beberapa kasus dan menemukan dua pohon spanning dari grafik sederhana memiliki beberapa tepi yang sama. Maksudku, aku tidak bisa menemukan contoh balasan sejauh ini. Tapi aku juga tidak bisa membuktikan atau membantahnya. Bagaimana cara membuktikan atau menyangkal dugaan ini?

graphs graph-theory spanning-trees

— Tuan Sigma.
sumber

46

Tidak, perhatikan grafik lengkap $K_4$ :

Ini memiliki pohon merentang ujung-disjoint berikut: masukkan deskripsi gambar di sini

— Bjørn Kjos-Hanssen
sumber

2

Anda dapat membuat masing-masing pohon planar dengan mengambil satu untuk menjadi bentuk-

dan yang lain membentuk-

. Anda dapat membuat semuanya planar dengan menggambar ujung dari sudut kanan atas ke sudut kiri bawah sebagai kurva keluar dari kotak.

N

$N$

Z

$Z$

— Akumulasi

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

14

Untuk pembaca yang lebih tertarik, ada beberapa penelitian tentang dekomposisi grafik menjadi pohon span-disjoint edge .

Sebagai contoh, makalah-makalah klasik tentang Masalah Menguraikan Grafik menjadi $n$ Faktor-Faktor yang Dihubungkan oleh WT Tutte dan Edge-disjoint spanning tree dari graf berhingga oleh C. St.JA Nash-Williams memberikan karakterisasi grafik yang mengandung $k$ berpasangan edge-disjoint merentang pohon.

$K_{4k+2}$ ${2k+1}$

$K_{2n}$

Anda dapat mencari lebih banyak. Misalnya, pencarian Google untuk dekomposisi grafik menjadi spanning tree .

— Lulus. Jack
sumber

9

$K_4$

Tidak, itu tidak benar bahwa dua pohon rentang dari grafik memiliki tepi yang sama.

Pertimbangkan grafik roda:

Anda dapat membuat spanning tree dengan tepi "di dalam" loop dan satu lagi dari loop luar.

— Gokul
sumber

3

tetapi loop luar tidak mencapai simpul tengah

— amI

Anda benar, saya akan menghapus jawaban ini karena yang lain sudah cukup.

— Gokul

10

Anda dapat memodifikasi ini dengan mengambil loop keluar minus beberapa "chord" ditambah beberapa "radius" dan pelengkapnya.

— boboquack

Iya nih. Sebenarnya saya hanya melihat seperti itu. @ boboquack

— Tn. Sigma.

3

$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
Apakah ada grafik selain roda atau roda sebagai subgrafnya yang merentang pohon dengan ujung yang terputus-putus?

— Tuan Sigma.
sumber

Pertanyaan-pertanyaan ini dan selanjutnya telah dijawab dalam makalah yang saya kutip. Jika Anda tertarik, Anda bisa melihatnya.

— Lulus. Jack

Terima kasih @ Apass. Jack, saya telah melihat jawaban Anda. Akan melihatnya.

— Tuan Sigma.

1

$K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 saya}, v_{2 saya + 1}), (v_{2 saya}, v_{2 saya + 2}), ..., (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 saya + 1}, v_{2 saya + 2}), (v_{2 saya}, v_{2 saya}), ... (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— Akumulasi
sumber

0

Jika grafik memiliki jembatan (yaitu tepi yang penghapusannya memutus grafik), maka tepi ini harus dimiliki oleh setiap pohon rentang. Secara intuitif, jembatan adalah satu-satunya tepi yang menghubungkan dua titik akhir dan karenanya harus dimiliki oleh setiap subgraf yang terhubung.

Di sisi lain, jika tepi grafik termasuk dalam siklus, maka ada pohon spanning yang tidak mengandung tepi ini.

Jadi, jika setiap tepi grafik milik siklus, maka tidak ada tepi yang umum untuk semua pohon spanning (yaitu, persimpangan set tepi pohon spanning adalah set kosong).

— mo2019
sumber