Apakah "Obyek yang Dapat Dicapai" benar-benar merupakan masalah NP-complete?

Saya sedang membaca makalah ini di mana penulis menjelaskan Teorema 1, yang menyatakan "Obyek yang Dapat Dicapai" (sebagaimana didefinisikan dalam makalah ini) adalah NP-complete. Namun, mereka membuktikan pengurangan hanya dalam satu arah, yaitu dari 2P1N SAT ke Obyek yang Dapat Dicapai. Ini hanya membuktikan bahwa masalahnya adalah NP-hard; apakah kita tidak perlu membuktikan arah sebaliknya (2P1N ke Obyek yang Dapat Dicapai) untuk membuktikan kelengkapan NP?

— Infinity
sumber

Para penulis belum membuktikan bahwa masalahnya terletak pada NP, mereka hanya mengklaim itu memang benar (dan mudah untuk membuktikannya). Mereka memang telah membuktikan NP-hardness.

— Kadal diskrit

Saya hanya ingin Anda tahu bahwa simbol itu \in, bukan \epsilon.

— Alice Ryhl

Jawaban:

Masalah adalah NP-complete jika: $P$

$P$ adalah NP-hard dan
$P \in \textbf{NP}$ .

Para penulis memberikan bukti nomor item 1. Item nomor 2 mungkin jelas (dan harus jelas untuk audiens kertas). Untuk bukti item nomor 1, Anda hanya perlu pengurangan (banyak-satu) dari beberapa masalah NP-complete (misalnya, SAT) ke ; tidak perlu membangun pengurangan dalam arah yang berlawanan. $P$

— dkaeae
sumber

Jika ada yang masih bingung, 2 sepele karena berada di NP berarti Anda dapat dengan cepat (waktu polinomial) memverifikasi solusi untuk masalah tersebut. Di sini, solusi dapat diverifikasi dengan hanya melakukan swap seperti yang dinyatakan dalam solusi dan memeriksa bahwa Anda mencapai objek yang diinginkan.

— Steven Waterman

@StevenLowes Satu-satunya hal yang masih harus Anda verifikasi adalah bahwa jumlah swap yang diperlukan adalah polinomial. Ini juga tidak terlalu sulit untuk dilihat, seperti yang saya jelaskan dalam jawaban saya.

— Kadal diskrit

Saya salah membaca kertas dan berasumsi bahwa urutan tidak mungkin membutuhkan lebih dari N swap - Anda benar :)

— Steven Waterman

@ Svenvenowes: Yah, itu juga sebaiknya (diungkapkan sebagai) masalah keputusan. Ada masalah NP-hard yang bukan masalah keputusan sama sekali, yang jelas tidak akan ada di NP tidak peduli betapa mudahnya mereka untuk "memverifikasi."

— Kevin

Para penulis mengklaim bahwa mudah untuk menunjukkan bahwa masalahnya terletak pada NP. Untuk membuktikan klaim ini, ambil urutan swap yang mengarah ke negara sebagai saksi bahwa negara dapat dijangkau. Dengan urutan ukuran polinomial seperti itu, kita dapat memverifikasi dalam waktu polinomial bahwa keadaan memang dapat dijangkau dengan melakukan swap.

Yang masih harus ditunjukkan adalah bahwa ada urutan swap yang memiliki ukuran polinomial. Perhatikan bahwa karena setiap agen memiliki preferensi ketat dan hanya akan bertukar jika dapat membuat perdagangan yang memberikan objek yang lebih baik, masing-masing agen dapat bertukar paling banyak $n$ waktu. Karena ada paling banyak $n$ agen, setiap urutan swap paling banyak $n^2$ swap.

Saya pikir jika ada preferensi yang tidak ketat, mungkin saja beberapa item harus bergerak melintasi siklus panjang untuk mencapai kondisi tertentu, dan bahwa khususnya ada kondisi di mana semua urutan swap memiliki ukuran eksponensial. Namun, saya tidak dapat memikirkan contoh langsung dari masalah seperti itu. Paling tidak, tidak lagi 'mudah' untuk menunjukkan masalah dengan preferensi yang tidak ketat dalam NP.

— Kadal diskrit
sumber