Penjadwalan pekerjaan dengan masalah bottleneck

Diberikan pekerjaan , setiap pekerjaan membutuhkan T_i> 0, T_i \ dalam N waktu untuk menyelesaikan.J 1 , J 2 , . . . , J n T i > 0 , T i ∈ $n$$J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

Setiap pekerjaan harus pra-diproses dan pasca-proses oleh satu mesin M yang hanya dapat menangani 1 pekerjaan pada satu waktu dan kedua fase membutuhkan 1 unit waktu. Setelah diproses, pekerjaan $J_i$ dikirim ke mesin dengan daya tidak terbatas (yang dapat menangani secara paralel jumlah pekerjaan tidak terbatas) dan akan siap pada waktunya $T_i$ , maka harus dikirim ( segera ) ke mesin M lagi untuk pengolahan pasca.

Masalah keputusan terkait adalah:

Input: waktu pemrosesan dari pekerjaan , integer Pertanyaan: dapatkah kita memproses semua pekerjaan dalam waktu menggunakan model "bottleneck" di atas? N K ≥ 2 N ≤ $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$

Apakah ada masalah dengan nama ini?
Apa kerumitannya? (Apakah dalam atau apakah itu -lengkap?) N $\sf{P}$$\sf{NP}$

PEMBARUAN 29 Maret:
Sebagaimana diperhatikan dengan benar oleh M.Cafaro dalam jawabannya, masalahnya serupa dengan Masalah Waktu Selesai Minimum Tidak Dibatasi (UMFT) (lihat Bab 17 dari Buku Pegangan Algoritma Penjadwalan ) yaitu -hard (terbukti) di W. Kern dan W. Nawijn, "Menjadwalkan pekerjaan multi-operasi dengan jeda waktu pada satu mesin", University of Twente, 1993). Seperti yang saya lihat, ada beberapa perbedaan karena dalam model saya:$\sf{NP}$

• waktu pemrosesan pra / pasca adalah konstan (1 unit waktu)
• segera setelah pekerjaan selesai, pekerjaan harus segera diproses (model UMFT memungkinkan penundaan)

Saya tidak menemukan bukti Kern & Nawijn online, jadi saya masih tidak tahu apakah pembatasan di atas mengubah kesulitan masalah.

Akhirnya Anda bisa memikirkan seluruh proses seperti robot masak tunggal dengan oven besar; robot dapat menyiapkan berbagai jenis makanan satu per satu (semua memerlukan waktu persiapan yang sama), memasukkannya ke dalam oven, dan segera setelah dimasak, mereka harus mengeluarkannya dari oven dan menambahkan beberapa bahan dingin ... " masalah robot masak " :-)

Pertanyaan ini terbukti NP-hard dalam "Meminimalkan Makespan di Toko Dua-Mesin dengan Penundaan dan Operasi Unit-Waktu adalah NP-Hard" oleh W. Yu, H. Hoogeveen, dan JK Lenstra (2004). Ini terbukti di bagian 9 dari makalah ini:

Teorema 24. Masalah meminimalkan makespan pada mesin tunggal dengan dua unit waktu operasi per pekerjaan dengan penundaan menengah sewenang-wenang sangat NP-keras.

$i$$T_i$$T_i$

Ini terlihat seperti model penjadwalan master-slave yang diperkenalkan oleh Sahni . Secara khusus, masalah Anda berada di bawah Sistem Single-Master Master-Slave. Anda dapat membedakan beberapa kasus:

1) Jika Anda tidak menambahkan kendala tambahan pada urutan pelaksanaan pekerjaan (seperti dalam kasus Anda), masalahnya disebut masalah waktu selesai minimum tidak terbatas (UMFT) dan telah terbukti NP-hard;

$O(n \log n)$

$NP$$P$

Masalah terkait lainnya adalah:

3) Reverse Order Postprocessing: Untuk setiap permutasi preprocessing yang diberikan, , adalah mungkin untuk membangun jadwal urutan terbalik, disebut sebagai canonical reverse order schedule (CROS). Diberikan permutasi preprocessing , CROS yang sesuai adalah unik. Sangat mudah untuk menetapkan bahwa setiap jadwal minimum urutan waktu selesai (ROMFT) adalah CROS.$σ$$σ$

4) kendala tanpa menunggu dalam proses:

a) [MFTNW] Minimalkan waktu selesai dengan tunduk pada batasan tanpa-tunggu-dalam-proses; b) [OP-MFTNW] Ini adalah versi MFTNW yang mempertahankan pesanan. Yaitu, meminimalkan waktu selesai dengan tunduk pada batasan tanpa-tunggu-proses dan pelestarian pesanan; c) [RO-MFTNW] Minimalkan waktu selesai dengan tunduk pada larangan-menunggu-dalam-proses dan urutan terbalik.

Masalah dan adalah NP-hard, sementara mengakui solusi waktu polinomial.b $a$$b$$c$

Rincian tambahan dalam Buku Pegangan Penjadwalan , bab 17.