Masalah optimisasi berkelanjutan yang mereduksi menjadi TSP

Misalkan saya diberi satu set terbatas poin di pesawat, dan diminta untuk menggambar kurva dibedakan dua kali melalui , sedemikian sehingga perimeternya sekecil mungkin. Dengan asumsi dan , saya dapat memformalkan masalah ini sebagai: $p_1,p_2,..p_n$ $C(P)$ $p_i$ $p_i=(x_i,y_i)$ $x_i<x_{i+1}$

Soal 1 (diedit sebagai respons terhadap komentar Suresh) Tentukan fungsi dari parameter sedemikian rupa sehingga arclength $C^2$ $x(t),y(t)$ $t$ diminimalkan, dengandan untuk semua, kita memiliki. $L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$ $x(0) = x_1, x(1) = x_n$ $t_i: x(t_i) = x_i$ $y(t_i)=y_i)$

Bagaimana saya membuktikan (atau mungkin menyangkal) bahwa Masalah 1 adalah NP-keras?

Mengapa saya curiga kekerasan NP Misalkan asumsi santai. Jelas, fungsi minimum arclength adalah tur keliling Salesman dari 's. Mungkin kendala hanya membuat masalah lebih sulit? $C^2$ $p_i$ $C^2$

Konteks Varian dari masalah ini telah diposting di MSE . Itu tidak menerima jawaban di sana dan di MO . Mengingat bahwa tidak masalah untuk menyelesaikan masalah, saya ingin mengetahui seberapa sulitnya.

— PKG
sumber

Kendala yang

tampaknya membuat masalah lebih mudah. Secara khusus, jika Anda sekarang menghilangkan batasan

, mengapa masalah ini tidak diselesaikan secara sepele karena Anda menghubungkan titik dengan garis lurus?

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

C_{2}

$C_2$

— Suresh

Itu bukan fungsi. Jika Anda "memutar" dari

, di bawah batasan bahwa

, kurva Anda akan memotong garis vertikal dua kali.

p_{3}

$p_3$

p_{2}

$p_2$

x_{1} < x_{2} < x_{3}

$x_1 < x_2 < x_3$

— Suresh

Tidak jelas, Anda perlu menyatakan apa yang Anda maksud dengan "menentukan" di sini. Ini bukan terminologi standar. Ini bahkan bukan masalah keputusan sehingga menggunakan istilah NP-hard tidak masuk akal.

— Kaveh

@ Suresh, dapatkah Anda memperluas bagian output? Saya menduga bahwa maksud Anda mengeluarkan nama kutukan dari seperangkat kurva yang tak terhitung jumlahnya. Perhatikan bahwa dalam kasus itu, tidak jelas bahwa kurva optimal akan selalu berasal dari kelas itu. Di sisi lain, jika kita bermaksud menemukan yang terbaik atau yang baik di antara mereka (atau perkiraan hingga beberapa parameter yang diberikan ke kurva optimal) maka kelas kurva parametrik harus ditentukan, jika tidak pertanyaannya tidak lengkap dan tidak dapat dijawab.

— Kaveh

Input / output bukan objek yang terbatas lagi, misalnya jika Anda benar - benar berurusan dengan bilangan nyata / fungsi maka masalah Anda adalah tipe yang lebih tinggi. Setiap objek tak terbatas diberikan oleh serangkaian tak terbatas perkiraan ke objek yang dimaksud. Halaman jaringan CCA berisi lebih banyak tautan jika Anda tertarik.

— Kaveh

$\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^{\infty}$

$\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^0$ $p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$ $t_1,\ldots,t_n$ $t$ $n$ $[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ lebih pendek, karena untuk setiap segmen garis lurus lebih pendek daripada kurva lain yang menghubungkan titik. Jadi untuk setiap pemesanan poin, kurva terbaik adalah solusi TSP, dan solusi TSP memberikan pemesanan poin terbaik.

$\mathcal{C}^{\infty}$ $\mathcal{C}^k$ $k$ $\ell$ $\epsilon > 0$ $\mathcal{C}^{\infty}$ $\ell + \epsilon$ $e^{-1/t^2}$ $e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ $y=0$ $x=0$ $y=x$ $x=1$ $\mathcal{C}^{\infty}$

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

Ini persis argumen yang saya cari, untuk waktu yang lama! Bisakah Anda memberikan referensi untuk konstruksi yang membosankan?

— PKG

Ini tidak sepenuhnya ketat, terutama karena di pesawat Anda bisa mendapatkan perkiraan yang baik untuk TSP dalam waktu polinomial.

— Suresh

Saya pikir Anda dapat memperkirakan TSP hanya dalam faktor 2 dalam waktu poli?

— PKG

@ PPKG Konstruksi mungkin memiliki nama, tapi saya khawatir kelas kalkulus saya terlalu lama bagi saya untuk mengingatnya. Saya baru ingat koneksi dasar disebut fungsi benjolan.

— Gilles 'SO- berhenti bersikap jahat'

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

1 + ϵ

$1+\epsilon$