Kompleksitas kekuatan matriks komputasi

Saya tertarik dalam menghitung $n$ 'th kekuatan dari matriks . Misalkan kita memiliki algoritma untuk perkalian matriks yang berjalan dalam waktu . Kemudian, orang dapat dengan mudah menghitung dalam waktu. Apakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam kompleksitas waktu yang lebih rendah? $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

Entri matriks dapat, secara umum, berasal dari semiring tetapi Anda dapat mengambil struktur tambahan jika itu membantu.

Catatan: Saya mengerti bahwa dalam komputasi umum dalam waktu akan memberikan algoritma untuk eksponensial. Tetapi, sejumlah masalah menarik berkurang ke kasus khusus dari matriks eksponensial di mana m = , dan saya tidak dapat membuktikan hal yang sama tentang masalah yang lebih sederhana ini. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
sumber

apa saja entri dari matriks? Bilangan bulat?

— Kaveh

Entri dapat, secara umum, berasal dari semiring tetapi Anda dapat mengambil struktur tambahan jika itu membantu.

— Shitikanth

Saya tidak bisa mendapatkan pengurangan dari multiplasi menjadi kuadrat dari metode yang diusulkan di atas (yaitu menggunakan

). Namun, menggunakan

berfungsi. Namun, ini hanya memberikan

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$ pada komputasi

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth

Jawaban:

Jika matriks dapat didiagonalisasi maka pengambilan daya ke- dapat dilakukan dalam waktu $n$ di mana adalah waktu untuk diagonalize .

HAI (D (n) + n catatan n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

Untuk melengkapi detailnya, jika dengan diagonal , maka $A=P^{-1}DP$ $D$

{SEBUAH}^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

dan dapat dihitung dengan hanya mengambil setiap elemen diagonal (masing-masing nilai eigen ) ke kekuatan ke- . $D^n$ $A$ $n$

— Ran G.
sumber

Bahkan jika matriks dapat didiagonalisasi, algoritma yang paling dikenal untuk komposisi eigend mengambil

waktu. Dengan menggunakan algoritma Coppersmith-Winograd, kami sudah memiliki algoritma

untuk komputasi

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— Shitikanth

(1) Batas waktu yang Anda kutip bukan oleh Coppersmith-Winograd (seperti yang mungkin Anda ketahui). (2) Semua algoritma dari bentuk itu hanya berfungsi untuk cincin; mereka tidak berfungsi untuk semiring umum (seperti yang Anda izinkan dalam pertanyaan Anda).

— Ryan Williams

Satu jalan keluar yang baik adalah Singular Value Decomposition SVD . Diberikan matriks nyata dari peringkat penuh , SVD membaginya menjadi mana adalah matriks diagonal, dalam waktu . Dengan sifat-sifat SVD, , sehingga hanya matriks diagonal yang perlu di-eksponensial, dan ini dapat dilakukan dalam $n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ waktu. Melakukan perkalian akhir membutuhkan , jadi kami memiliki semua operasi . $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

Perbarui setelah komentar Intinya adalah bahwa begitu SVD ditemukan, daya apa pun hanya membutuhkan waktu untuk dihitung dengan algoritma CW Anda sendiri. Tapi ini bukan pertanyaan Anda. Jika benar-benar ada algoritma , itu akan segera dikonversi menjadi algoritma untuk bilangan bulat. Saya curiga tidak ada yang seperti itu. $O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
sumber

Karena algoritma Coppersmith-Winograd menemukan produk dari dua matriks dalam waktu

, kami sudah memiliki algoritma

untuk menghitung

. Saya tertarik mengetahui apakah ini dapat diperbaiki tanpa memerlukan algoritma multiplikasi matriks yang lebih baik, terutama untuk

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

— Shitikanth

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

@Shitikanth lihat ccrwest.org/gordon/jalg.pdf untuk survei algoritma eksponensial cepat. Secara umum, tidak mungkin untuk menggunakan lebih sedikit dari multiplikasi

\log m

$\log m$

— Joe

Ini tidak jelas dari pertanyaan Anda, seperti yang dinyatakan.

— PKG