Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bahasa dapat dikenali, dikenali bersama, atau dapat ditentukan?


8

Jika Anda memiliki bahasa L, tanpa melakukan bukti apa pun, adakah cara untuk mengetahui apakah itu dapat dikenali atau dikenali bersama atau dapat dipilih?

Pada dasarnya ada petunjuk atau trik yang bisa digunakan untuk menceritakannya. Atau mungkin pola umum untuk mencari tahu jenis apa itu?


"Tanpa melakukan bukti", aku bisa membuktikan apa pun padamu. (:
Ran G.

1
Dalam matematika "trik" biasanya disebut "teorema", dan pada beberapa kesempatan "lemma".
Andrej Bauer

Beberapa pola umum adalah yang ditangani oleh teorema Rice (membuktikan satu set tidak dapat diputuskan) dan teorema Rice-Shapiro (membuktikan set tidak dapat dikenali). Ini sangat membantu untuk pola "himpunan TM ( ) yang dikodekan sedemikian sehingga, menjalankan kita mengamati perilaku ini"MM
chi

Jawaban:


6

L dikenali

Bahasa dapat dikenali jika dan hanya jika ada verifier untuk , di mana verifier adalah mesin Turing yang berhenti pada semua input dan untuk semua , . Umumnya, dianggap sebagai "sertifikat" atau "bukti" yangL.L.wΣwL.cΣ.V menerima w,ccw adalah diL. dan verifikasi V memeriksa apakah c adalah bukti valid dari w berada di L.. (Perhatikan bahwa definisi ini setara dengan definisi pengenal karena kita dapat membuat pengenal untuk suatu bahasa dari sebuah verifier untuk bahasa itu). Sekarang untuk menentukan apakah suatu bahasa dalam RE atau tidak kita dapat mengajukan pertanyaan berikut:

Diberi string wL., Bisa Anda membuktikan bahwawL.?

Sebagai contoh, pertimbangkan HSEBUAHL.T={M.,w | M. adalah TM yang berhenti w}. HSEBUAHL.T dikenali karena untuk membuktikan kepada Anda itu M. berhenti w, Saya hanya bisa memberi tahu Anda jumlah langkah yang harus Anda jalankan M. untuk dan jika M. tidak berhenti setelah banyak langkah, Anda akan yakin itu M.,wHSEBUAHL.T.

L bisa dikenali bersama

Demikian pula bahasa L. dikenali bersama jika dan hanya jika komplemennya dikenali, atau dengan kata lain jika ada verifier untuk L.¯. Jadi untuk melihat apakah suatu bahasa dalam co-RE, kita dapat bertanya:

Diberi string wL., Bisa Anda membuktikan bahwawL.?

Mengambil kembali contoh HSEBUAHL.T, kita bisa menggunakan intuisi ini untuk menunjukkan itu HSEBUAHL.Ttidak dikenali bersama. Ini karena jika saya katakan itu mesinM. tidak berhenti pada input w, sebenarnya tidak ada yang bisa saya katakan untuk meyakinkan Anda tentang fakta itu. Saya bisa lariM. di w tetapi bahkan jika kita sudah menonton M. lari dan belum melihatnya berhenti, kita tidak tahu bahwa itu tidak akan berhenti dan kapan-kapan di masa depan.

L adalah decidable

Akhirnya, sebuah bahasa L. decidable jika keduanya L. dan L.¯dikenali. Jadi jika jawaban untuk kedua pertanyaan di atas adalah ya, maka bahasanya dapat dipilih.

Sebagai contoh, pertimbangkan L.={Sebuahnbn | nN}. Diberi stringwL., bisakah saya membuktikan kepada Anda bahwa wL.? Tentu, saya bisa menghitung jumlahnyaSebuahdan jumlah bdan menunjukkan bahwa mereka setara, jadi L.dikenali. Bagaimana kalauwL.? Saya dapat membuktikan bahwa sebuah string tidak adaL. dengan menunjukkan bahwa itu bukan dari formulir Sebuahnbm atau bahwa ada ketidakcocokan dalam jumlah Sebuahdan bs. Jadi,L.dikenali bersama. Karena keduanya dikenali dan dikenali bersama,L. juga decidable.

Referensi: Saya seorang TA untuk kelas teori komputabilitas / kompleksitas intro di universitas saya dan profesor saya membuat panduan animasi yang sangat membantu ini untuk alasan tentang bahasa yang teratur, dapat dipercaya, dan dapat dikenali.


Terima kasih untuk tautannya! dan terima kasih kepada prof Anda untuk membuat itu! itu hebat
batal

2

Ide utama

Menjadi dikenali berarti Anda dapat membangun proses otomatis (kami akan kembali lagi nanti) yang menggunakan kata sebagai parameter

  • Jika proses otomatis berakhir, ia mengembalikan YA atau TIDAK.
  • Proses otomatis ini tidak harus berakhir pada setiap input, tetapi harus berakhir jika kata input dalam bahasa.

Mengenali bersama berarti bahasa wΣ,wL. (atau, dalam bahasa Inggris, himpunan semua kata yang tidak ada L., yaitu komplementernya) dapat dikenali.

Menjadi decidable berarti Anda dapat membangun proses otomatis yang menggunakan kata sebagai input, seperti itu

  • Proses otomatis selalu berakhir
  • Itu menjawab YA atau TIDAK. Jika itu menjawab YA, kata itu dalam bahasa, jika itu menjawab TIDAK, kata itu tidak dalam bahasa.

Satu hasil penting adalah itu L. dapat ditentukan jika dan hanya jika L. dikenali dan dikenali bersama.


Gagasan untuk membuktikan hasil ini, adalah bahwa Anda dapat membangun proses otomatis dari proses yang dapat dikenali dan dikenali bersama Anda, dengan bergantian langkah dari kedua proses, hingga salah satu dari itu memberi Anda jawaban YA. Salah satu dari mereka harus melakukannya, karena setiap kata dalam atau tidak dalam bahasa)


Proses otomatis

Tanpa terlalu formal, banyak jenis mesin telah dirancang, dan pada dasarnya semuanya telah dikaitkan dengan jenis bahasa (tipe-tipe itu bergantung pada alat yang diperlukan untuk mendefinisikan bahasa tersebut. Untuk informasi lebih lanjut, Hierarki Chomsky dapat membantu).

Arti biasa dari proses otomatis, sehubungan dengan decidability, adalah Mesin Turing. Anda dapat mendefinisikan Mesin Turing sedemikian rupa sehingga dapat:

  • Terima nilai dari input
  • Simpan nilai
  • Baca nilai yang disimpannya
  • Hitung operasi matematika dasar pada nilai-nilai
  • Tes properti matematika dasar pada nilai-nilai itu, dan bertindak sesuai, akhirnya berulang.

Pada dasarnya, Mesin Turing dapat melakukan semua yang Anda bisa mendefinisikan dalam suatu program, kecuali itu adalah objek matematika, dengan memori tak terbatas dan waktu untuk dihabiskan pada perhitungan. Itu tidak selalu berakhir.

Properti penting lainnya dari Mesin Turing, adalah Anda dapat menggambarkan mesin Turing sebagai satu kata (ini adalah encoding), dan ada mesin Turing yang, diberikan sebagai input pengkodean mesin M., dan sebuah kata w, dapat mensimulasikan perhitungan M. pada input w. Ini akan menjadi penting dalam sedikit.


Mari kita tunjukkan bahwa bahasa biasa - yang (hampir) merupakan jenis bahasa paling sederhana yang dapat Anda pikirkan dari sudut pandang matematika - memiliki sifat khusus yang ditutup dengan pelengkap. Ini pada dasarnya berarti bahwa pada bahasa-bahasa tersebut, pengertian tentang dapat diakui dan decidability adalah setara. Ini tidak berlaku ketika Anda naik di Chomsky Hierarchy.


Contoh bahasa yang tidak dapat ditentukan

Kami akan mempelajari masalah Hentikan . Pertanyaannya adalah, bisakah kita membangun Mesin Turing itu, mengingat penyandian Mesin Turing lainM. dan sebuah kata w, memutuskan apakahM. berakhir pada input w ?

Jelas, ini dapat dikenali , karena kita hanya perlu mensimulasikanM. di wsampai itu berakhir, dan ketika itu terjadi, katakan YA. Namun, jikaM.tidak pernah berakhir, kami tidak akan mengatakan TIDAK, jadi kami mengenali bahasa ini, tetapi tidak memutuskannya. Telah terbukti bahwa bahasa ini tidak dapat diputuskan oleh Mesin Turing. Ini melibatkan skema matematika yang biasa: argumen diagonal, yang tidak saya sebut intuitif. Anda dapat memeriksa sketsa bukti ini untuk membiasakan diri dengannya.

Untuk menyimpulkan

Anda tidak akan bisa, diberi bahasa, untuk hanya menyatakan apakah itu decidable atau tidak. Tidak ada algoritma yang dapat melakukan itu, dan membuktikan bahwa suatu bahasa tidak dapat diputuskan membutuhkan pemikiran, dan dapat memerlukan beberapa pengetahuan tentang Mesin Turing, argumen Diagonal, dll ...

Namun, inilah cara pribadi saya menangani pertanyaan ini. Biasanya, ketika mempelajari suatu bahasa, saya menganggap itu dapat dipilih, kecuali jika itu menunjukkan beberapa bentuk referensi tentang cara kerja Mesin Turing. Dalam hal ini, saya mulai waspada, dan mencoba mendefinisikan algoritma yang menentukan bahasa. Jika ini tidak terlihat mudah, kadang-kadang membantu untuk membagi pekerjaan baik dalam algoritme mengenali, maupun mengenali bersama. Jika saya masih tidak bisa melakukannya, saya akan mencoba untuk membuat hubungan antara bahasa ini, dan yang lain yang tidak dapat ditentukan, seperti "Jika saya dapat memutuskan bahasa itu, saya dapat memutuskan masalah penghentian". Ini adalah pengurangan Turing ke masalah yang tidak dapat diputuskan, sehingga masalah pertama tidak dapat diputuskan. Jika semua itu gagal, saya bisa mencoba menggunakan argumen diagonal, tetapi ini bisa sedikit rumit.


1

Salah satu triknya adalah jika bahasa tersebut terbatas, maka Anda tahu pasti bahwa itu dapat dipilih - karena Anda dapat "meng-hardcode" mesin untuk menerima apa pun dalam bahasa itu. Namun saya menemukan cara termudah adalah dengan hanya mengurangi dari bahasa lain


Hal yang sama berlaku untuk bahasa dengan co-finite.
Raphael

Selain itu, bahasa dengan ruang solusi terbatas yang diberi input akan dapat ditentukan karena Anda dapat melakukan pencarian brute force.
jmite

1

Seperti yang saya sebutkan di komentar saya di atas, saya merasa terbantu untuk memikirkan ruang solusi dari masalah tersebut.

Pikirkan sesuatu seperti SSEBUAHT. Kita tahu bahwa itu dapat ditentukan, karena untuk mengujinya ada sejumlah solusi terbatas yang harus kita coba. Jika ada beberapa kondisi yang terbatas untuk diperiksa, di mana salah satu dari ini berhasil menjamin ya, dan tidak ada dari mereka yang berhasil menjamin tidak, maka masalahnya dapat diputuskan, karena kami hanya memeriksa kondisi secara berurutan. Perhatikan bahwa rangkaian kondisi ini bisa sangat besar (seperti dalam kasus masalah NP-complete).

Pertimbangkan sekarang ketika ruang solusi tak terhingga tak terbatas, dan kami dapat menghasilkan setiap solusi yang mungkin secara berurutan, dan menguji setiap solusi dapat ditentukan. Dalam hal ini kita tahu bahwa masalahnya dapat dikenali. Misalnya, masalah menanyakan "apakah ada bilangan asli sehingga ..." dapat dikenali, karena kita dapat mulai dari 0, dan terus mencoba setiap angka secara berurutan. Jika ada solusi, kami dijamin akan menemukannya, tetapi belum tentu ada batas waktu yang diperlukan untuk menemukannya. Juga, algoritma ini tidak akan pernah berhenti jika tidak ada bilangan bulat seperti itu, jadi itu tidak membuktikan bahwa masalah dapat diputuskan.

Anda dapat menerapkan teknik yang sama untuk set semua string, semua integer, semua grafik, atau struktur hingga apa pun yang dapat kami sebutkan. Ini tidak akan berhasil untuk menemukan bilangan real, atau serangkaian string (mungkin tak terbatas).

Namun perlu dicatat, bahwa beberapa masalah mungkin memiliki ruang solusi yang tak terhingga jumlahnya dan masih dapat ditentukan.


"Jika ruang solusi tak terhingga jumlahnya, maka kita tahu bahwa masalahnya dapat dikenali." -- Belum tentu. Pertama, ruang solusi mungkin tidak dapat dihitung secara efektif (Contoh: "Apakah ada TM yang menghitung fungsi total dan sehingga [predikat non-sepele]?"). Kedua, keputusan apakah objek yang dianggap sebagai solusi dapat diputuskan sendiri (Contoh: "Temukan TM yang tidak berhenti pada 77.").
Raphael

Ah, itu memicu sebuah ide. Kami tahu ituNP{L.| L. DecsayadSebuahble}, sehingga akan menyiratkan bahwa jika kita dapat menunjukkan masalah berada di NP (atau P dalam hal ini) maka cukup ikuti dari itu. Itu bisa membantu mempersempitnya.
Steven

Juga: "Apa pun dengan" set kemungkinan "yang terbatas untuk dicoba akan dianggap layak" - tidak. Masalah penghentian memiliki dua kemungkinan jawaban tetapi tidak dapat dipastikan.
Raphael

@ Sebelas Ya, tapi itu bukti yang lebih sulit. (Set yang Anda maksudkan biasanya dilambangkan dengan R, set bahasa rekursif (ly decidable).)
Raphael

Saya kira saya harus mengklarifikasi. Idenya adalah bahwa Anda tidak dapat dengan paksa memaksa masalah penghentian dengan cara yang Anda bisa, katakanlah, 3-SAT. Atau bagaimana, ketika Anda menjalankan sesuatu pada PDA, Anda dapat mencoba semua jalur yang mungkin meskipun itu non-deterministik. Tetapi untuk TM, Anda tidak bisa karena itu bisa berjalan sangat lama, sehingga set "hal yang harus dicoba" yaitu jalur yang mungkin melalui program, tidak terbatas.
jmite

0

Trik untuk melihat apakah suatu bahasa tidak dapat diputuskan adalah dengan bertanya pada diri sendiri pertanyaan "dapatkah saya membuat kode perhitungan mesin Turing menggunakan bahasa ini"? Atau lebih umum, "apakah itu menjadi serumit apa yang terjadi dalam perhitungan?". Tentu saja terkadang pengkodean ini sulit, dan ini membantu untuk mengetahui daftar masalah yang tidak dapat diputuskan untuk dikurangi menjadi (seperti masalah Post korespondensi). Jika Anda tidak menemukan pengurangan seperti itu, coba pikirkan algoritma untuk memutuskan bahasa Anda. Misalnya bahasa daftar bilangan bulat dalam meningkatkan pesanan tidak terbatas, tetapi mudah untuk merancang pengujian algoritma apakah daftar diurutkan dalam peningkatan pesanan, sehingga bahasa ini dapat dipilih. Dan untuk banyak bahasa, kita tidak tahu tentang kepantasannya, jadi ini pertanyaan yang sulit.


Jawaban ini mempromosikan intuisi yang salah, lihat di sini .
Raphael

Saya tidak setuju bahwa itu intuisi yang salah. Tentu saja saya tidak menyebutkan semua masalah, misalnya bahasa dapat disajikan dengan cara yang sangat rumit seperti dalam contoh Anda, dan jadi kita harus menyederhanakannya terlebih dahulu, untuk sampai ke "esensinya". Saya juga tidak menyebutkan fakta bahwa ada bahasa yang diputuskan "di atas" berhenti, dan "di bawah" berhenti, karena saya tidak berpikir itu membantu intuisi pada tingkat ini.
Denis
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.