Menemukan subgraf bebas 3-klik terbesar yang diinduksi

Pertimbangkan masalah ini:

Diberikan grafik tidak terarah $G = (V, E)$ , Temukan $G' = (V', E')$ seperti yang:

$G'$ adalah subgraph yang diinduksi dari $G$

$G'$ tidak memiliki 3-klik

$|V'|$ maksimal

Jadi jumlah simpul paling sedikit harus dihilangkan $G$ sehingga 3-klik dihilangkan.

Masalah yang setara adalah menemukan 2-pewarnaan untuk $G$ sedemikian rupa sehingga jika $(v_1, v_2, v_3) \in V$ dan $((v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_1)) \in V$ ,

$(v_1.color == v_2.color \wedge v_2.color == v_3.color \wedge v_3.color == v_1.color) = False$
Perbedaan (absolut) antara jumlah node dengan warna 1 dan jumlah node dengan warna 2 adalah maksimal.

Adakah yang bisa memikirkan algoritma waktu polinomial untuk menyelesaikan salah satu masalah ini?

— Alexandre
sumber

Apakah Anda tahu bahwa ada adalah algoritma waktu polinomial, atau Anda hanya berharap untuk satu?

— Luke Mathieson

Saya baru sadar, dua definisi masalah Anda tidak cocok! Yang kedua memaksakan kondisi yang disebabkan oleh subgraph

V - V^{'}

$V-V'$ juga bebas segitiga. Saya tahu bahwa ini NP-Complete untuk menentukan apakah partisi tersebut ada: cstheory.stackexchange.com/questions/65/h-free-cut-problem . Sedangkan deskripsi awal memungkinkan grafik yang diinduksi dari

V - V^{'}

$V-V'$ mengandung segitiga. Yang mana yang benar?

— Aryabhata

@LukeMathieson: Saya percaya kelas o grafik memiliki solusi polinomial-waktu karena saya mencapai masalah di atas dari masalah berikut yang memiliki solusi polinomial-waktu: "Diberikan satu set interval bilangan bulat N, pilih sebanyak mungkin sehingga tidak ada 3 intersect . "

— Alexandre

@Alexandre: Grafik interval spesial. Masalah NP-Hard yang terkenal ada di P, ketika terbatas pada grafik interval.

— Aryabhata

@Aryabhata: Subgraf yang diinduksi adalah G ', dan tidak dapat memiliki 3-klik. Oleh karena itu, tidak dapat memiliki segitiga, persis sama dengan deskripsi kedua.

— Alexandre

Kedua definisi meninggalkan masalah Anda NP-keras, dan telah dijawab pada cstheory.

Interpretasi 1, di mana Anda memerlukan sub-grafik segitiga bebas terbesar, adalah NP-Hard dan telah dijawab di sini .
Intepretation 2, di mana Anda memerlukan partisi sedemikian rupa sehingga kedua sub-grafik yang diinduksi bebas segitiga, telah dijawab di sini .

Perhatikan bahwa jawaban yang saya tautkan adalah untuk umum $H$ -Keluarga dan kelas $NP$ Masalah -Hard.

— Aryabhata
sumber