Apakah masalah semesta untuk automata satu-counter dengan ukuran alfabet terbatas tidak dapat diputuskan?

Pertimbangkan masalah alam semesta berikut ini .

Masalah alam semesta. Diberikan himpunan terbatas untuk kelas bahasa, dan otomat yang menerima bahasa , putuskan apakah .$\Sigma$$L$$L=\Sigma^*$

Dalam [1], dinyatakan dan dibuktikan bahwa masalah alam semesta tidak dapat diputuskan untuk kelas khusus one-counter automata. Hasil ini kemudian mengikuti untuk kelas semua automata satu-counter non-deterministik. Saya ingin tahu apakah diketahui apakah masalah ini masih belum dapat diputuskan ketika kami membatasi ukuran alfabet input automaton.

Saya pikir dengan ukuran alfabet 1 masalahnya menjadi decidable, tetapi bagaimana dengan ukuran 2? Dan jika itu ternyata dapat ditentukan, apa nilai terkecil dari sehingga masalahnya tidak dapat diputuskan.$n \in \mathbb{N}$

Saya pikir kemungkinan jawaban untuk pertanyaan ini diketahui tetapi saya kesulitan menemukan jawaban. Jika sudah diketahui maka saya akan sangat menghargai referensi.

[1] Ibarra, OH (1979). Mesin satu-counter terbatas dengan masalah alam semesta yang tidak dapat ditentukan. Teori sistem matematika, 13 (1), 181-186

Itu harus diputuskan untuk alfabet dengan dua simbol. Dimungkinkan untuk mengkodekan alfabet apa saja menjadi dua huruf, misalnya, memetakan 16 simbol dengan panjang 4 string biner . Kemudian persamaan untuk setara dengan persamaan untuk semua kode yang mungkin untuk string. Dalam contoh 16 huruf ini berarti kesetaraan untuk semua string kelipatan empat huruf. Jelas itu bukan universalitas. Itu diperoleh dengan menambahkan string biner yang tidak dikodekan. Itu adalah set reguler dan dapat dihasilkan oleh robot satu counter.$aaaa, aaab, \dots, bbbb$$\Sigma^*$

Penjelasan yang sama, dengan untuk mereka yang menghargainya. Asumsikan universalitas tidak dapat dipastikan untuk . Biarkan menjadi morfisme suntik. Sekarang iff . Ini pada gilirannya setara dengan mana adalah bahasa reguler (tetap) . Oleh karena itu kita tidak dapat memutuskan apakah bahasa biner one counter bersifat universal. Perhatikan bahwa bahasa adalah satu lawan karena keluarga ditutup di bawah morfisme dan penyatuan (dengan bahasa biasa).$\LaTeX$$\Sigma$$h: \Sigma^* \to \{0,1\}^*$$L = \Sigma^*$$h(L) = h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R = \{0,1\}^*$$R$$\{0,1\}^* - h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R$

Seperti yang Anda sebutkan "Saya pikir itu" Saya juga dapat mengkonfirmasi pertanyaan ini dapat diterima untuk alfabet satu huruf. Ini adalah decidable untuk automata push-down (maka bahasa bebas konteks) karena satu huruf CFL (efektif) setara dengan bahasa biasa.