Mengapa Relativization menjadi penghalang?

Ketika saya menjelaskan bukti Baker-Gill-Solovay bahwa ada oracle yang dapat kita miliki, , dan sebuah oracle yang dengannya kita dapat memiliki kepada teman , muncul pertanyaan mengapa teknik seperti itu tidak cocok untuk membuktikan masalah , dan saya tidak bisa memberikan jawaban yang memuaskan.$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$P ≠ N $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

, jika saya memiliki pendekatan untuk membuktikan dan jika saya dapat membuat ramalan untuk membuat situasi seperti di atas terjadi, mengapa metode saya tidak valid?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Adakah penjelasan / pemikiran tentang topik ini?

Singkatnya, jika saya memiliki pendekatan untuk membuktikan P ≠ NP dan jika saya dapat membuat ramalan untuk membuat situasi seperti di atas terjadi, mengapa metode saya tidak valid?

Perhatikan bahwa yang terakhir "jika" bukan suatu kondisi, karena Baker, Gill, dan Solovay sudah membangun oracle tersebut. Ini hanya kebenaran matematis bahwa (1) ada oracle relatif yang P = NP, dan bahwa (2) ada oracle relatif terhadap P ≠ NP.

Ini berarti bahwa jika Anda memiliki pendekatan untuk membuktikan P ≠ NP dan bukti yang sama akan sama-sama membuktikan hasil yang lebih kuat "P ^A ≠ NP ^A untuk semua ramalan A ," maka pendekatan Anda pasti gagal karena akan bertentangan (1).

Dengan kata lain, ada beberapa perbedaan mendasar antara membuktikan P ≠ NP dan membuktikan misalnya teorema hierarki waktu, karena bukti yang terakhir hanya menggunakan diagonalisasi dan sama-sama berlaku untuk dunia yang direlatifikasi.

Tentu saja, ini tidak berarti bahwa tidak ada bukti untuk P ≠ NP. Bukti seperti itu (jika ada) harus gagal membuktikan hasil yang lebih kuat yang disebutkan di atas. Dengan kata lain, beberapa bagian dari bukti harus membedakan dunia non-relativizing dari dunia relativized sewenang-wenang.

Sudah ada jawaban yang bagus, tetapi saya ingin menambahkan beberapa poin kecil.

Anggaplah kita memiliki teknik untuk menyelesaikan masalah, misalnya diagonalisasi . Asumsikan bahwa kami ingin menunjukkan bahwa teknik ini tidak dapat menyelesaikan masalah tertentu, misalnya vs. . Bagaimana bisa ditunjukkan ini?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Sebelum melangkah lebih jauh, perhatikan bahwa teknik seperti diagonalisasi bukanlah konsep formal di sini (meskipun kita bisa membuatnya begitu). Selain itu fakta bahwa teknik tidak dapat menyelesaikan masalah dengan sendirinya tidak berarti bahwa itu tidak berguna dalam menyelesaikan masalah sama sekali, kita mungkin dapat memodifikasinya dan / atau menggabungkannya dengan teknik lain untuk menyelesaikan masalah.

Sekarang, mari kita kembali ke pertanyaan. Salah satu cara untuk menunjukkan bahwa suatu teknik tidak dapat memecahkan masalah tertentu adalah dengan menunjukkan bahwa jika itu bisa juga bekerja dalam kerangka kerja yang berbeda untuk menyelesaikan pertanyaan lain, dan jawaban yang akan kita dapatkan dalam kasus itu akan salah. Inilah yang terjadi di sini. Jika diagonalisasi bisa memisahkan dari maka argumen yang sama dapat digunakan untuk memisahkan dari untuk semua . Tapi kita tahu bahwa ada oracle sehingga ini salah ( masalah lengkap sebagai oracle). Jadi diagonalisasi tidak dapat memisahkan dari .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$P A A P S p a c e N P $\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Poin penting dalam argumen ini adalah semacam prinsip transfer :

kita dapat mentransfer argumen diagonalisasi untuk TM tanpa oracle ke TM dengan oracle.

Ini dimungkinkan di sini karena argumen diagonalisasi didasarkan pada simulasi mesin, apalagi simulasi tidak bergantung pada internal mesin tetapi hanya pada jawaban akhir dari simulasi ini. Jenis diagonalisasi ini disebut sebagai diagonalisasi sederhana . Dalam simulasi tidak peduli bagaimana mesin bekerja, kami hanya peduli dengan jawaban akhir dari mesin. Menambahkan oracle tidak akan mengubah ini sehingga simulasi dan argumen akan bekerja juga dalam kerangka kerja di mana kita memiliki oracle.

Secara lebih formal, kita dapat menganggap argumen diagonalisasi sebagai fungsi dari kelas mesin (katakanlah ) untuk contoh yang menunjukkan bahwa mesin tidak dapat menyelesaikan masalah (katakanlah ). Fungsi counterexample ini adalah fungsi diagonalisasi. Sebuah diagonalisasi sederhana jika contoh tandingan yang diberikannya tidak bergantung pada internal mesin, yaitu jika dua DTM waktu polinomial memiliki bahasa yang sama maka sampel tandingan menunjukkan bahwa mereka tidak dapat menyelesaikan diberikan oleh fungsi diagonalisasi adalah sama. S A T S A $\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

Anda mungkin bertanya-tanya apakah ini pembatasan besar? Mengapa counterexample perlu bergantung pada struktur internal mesin? Bisakah kita membuktikan pemisahan menggunakan diagonalisasi yang tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan diagonalisasi sederhana? Jawabannya iya. Bahkan Kozen menunjukkan dalam makalahnya tahun 1978 "Pengindeksan kelas subkursif" (3 tahun setelah hasil BGS) bahwa jika dapat dipisahkan dari maka ada argumen diagonalisasi umum untuknya. Dan dalam praktiknya argumen semacam itu telah ditemukan. Sebagai contoh, batas bawah ruang-waktu Fortnow dan van Melkebeek untuk SAT (2000) menggunakan teknik yang disebut diagonalisasi tidak langsung yang memberikan diagonalisasi non-sederhana.$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Jadi, apakah klaim bahwa diagonalisasi tidak dapat menyelesaikan vs. salah? Nah, secara umum yang dimaksud para ahli dengan diagonalisasi di sini adalah diagonalisasi sederhana dan ada alasan bagus untuk itu.N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

$M$$M$$M$$M$menjadi contoh itu. Ini adalah gambaran besar, jika Anda ingin melihat detailnya, periksa kertas Kozen.

Musim panas:

• $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• Alasan perpindahan ini dari kerangka kerja kurang oracle ke kerangka kerja dengan oracle bekerja adalah bahwa diagonalisasi sederhana didasarkan pada simulasi kotak hitam TM dan tidak peduli bagaimana mesin bekerja, apakah itu memiliki oracle atau tidak.

Dua makalah bagus untuk mempelajari lebih lanjut tentang diagonalisasi adalah

• Makalah survei Lance Fortnow "Diagonisasi", 2001, dan
• Russell Impagliazzo, Valentine Kabanets, dan karya tulis Antonina Kolokolova, "Pendekatan Aksiomatik untuk Alebrization", 2009. (Perhatikan bahwa aljabar adalah perpanjangan dari diagonalisasi sederhana .)

Biarkan dan $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

Mengapa ini menjadi masalah? Ketika bukti ini keluar, sebagian besar teknik dan trik yang kami tahu untuk memisahkan atau meruntuhkan kelas kompleksitas 'relativized', karena mereka bekerja sehubungan dengan oracle apa pun. Misalnya, teorema hierarki waktu (dan juga versi ruang dan non-deterministiknya) 'merelatifikasi': mereka membuktikan pemisahan untuk kelas-kelas yang menjadi dasar pemisahan ini, dan pada kenyataannya, mereka membuktikan hasil yang lebih kuat yang dipegang oleh pemisahan terhadap oracle apa pun.

$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$