Apa kompleksitas masalah kekosongan untuk DFA 2 arah?

12

Saya bertanya-tanya, apa kerumitan waktu menentukan kekosongan untuk DFA 2 arah? Yaitu, automata terbatas yang dapat bergerak mundur pada tape input read-only.

Menurut Wikipedia, mereka setara dengan DFA, meskipun DFA yang setara mungkin secara eksponensial lebih besar. Saya telah menemukan kompleksitas keadaan untuk komplemen dan persimpangan mereka, tetapi tidak untuk pengujian kekosongan mereka.

Adakah yang tahu kertas di mana saya bisa menemukan ini?

— Ya ampun
sumber

1

Saya sangat menyarankan Anda membaca salah satu dari dua bukti yang mengurangi 2DFA menjadi DFA. Mereka bisa memberi Anda wawasan tentang masalah tersebut.

— Yuval Filmus

9

Teman Google menyarankan hal berikut: " Kelengkapan PSPACE dari masalah kekosongan untuk automata keadaan terbatas deterministik dua arah dalam Latihan 5.5.4 adalah karena Hunt (1973). " (Pengantar Teori Komputasi, Eitan Gurari, Komputer Science Press, 1989, online )

Hunt, H. (1973). "Tentang kompleksitas waktu dan rekaman bahasa," Prosiding Simposium ACM Tahunan ke-5 tentang Teori Komputasi, 10-19.

(Sekarang saya telah melihat referensi ) Makalah ini ditulis secara abstrak seperti yang Anda perhatikan. Bagian penting bagi kami adalah bukti dari Thm 3.7, di mana disarankan agar seseorang dapat membuat 2FSA yang menerima perhitungan yang valid dari automaton terikat linier pada string ( !) Yang tetap (!) Yang dekat dengan definisi PSPACE ). 2FSA dapat dikonstruksikan dalam waktu polinomial (dalam ukuran dan ). Perhitungan LBA dapat ditulis sebagai mana semuanya sama panjangnya dengan $\cal A$ $\cal M$ $x$ $\cal A$ $\cal M$ $x$ $x\$x_1\$\dots\$x_n$ $x_i$ dan merupakan langkah berturut-turut. Bagaimana memeriksa bahwa dan sama (hingga perubahan kondisi lokal dan simbol tunggal sebagai operasi LBA)? Dengan mengecek huruf demi huruf, memutar rekaman dengan dua cara. Untuk itu kita perlu counter of sizediimplementasikan dalam kontrol negara terbatas . $x$ $\cal M$ $\cal A$ $x_i$ $x_{i+1}$ $|x|$ $\cal A$

Ternyata masalah tersebut disebutkan dalam lampiran referensi klasik oleh Garey & Johnson, Computers and Intractability , masalah [AL2] " Otomaton dua arah hingga non-kekosongan" dengan pernyataan eksplisit "PSPACE-lengkap bahkan jika bersifat deterministik ". Referensi lagi Hunt, dengan klarifikasi "Transformasi dari Linear Bounded Automaton Acceptance" (Diberikan LBA dan input , apakah menerima ?). Masalah yang terakhir adalah [AL3] dengan mengacu pada makalah Karp (1972) yang terkenal "Reducibilitas Diantara Masalah Combinatorial" (di mana Penerimaan LBA disebut sebagai Pengakuan Konteks-Sensitif). $\cal A$ $\cal A$ $x$ $\cal A$ $x$

— Hendrik Jan
sumber

1

Saya memeriksa referensi. Saya cukup yakin ini mengikuti dari Teorema 3.8, meskipun itu agak rumit. Ini diutarakan lebih sebagai hasil gaya teorema Rice untuk predikat / properti sewenang-wenang, daripada "kekosongan sederhana adalah PSPACE lengkap".

— jmite

5

Persimpangan Non-Kekosongan untuk DFA adalah sebagai berikut:

Input: Daftar terbatas , , ..., . $D_1$ $D_2$ $D_k$

Pertanyaan: Apakah ada string sehingga untuk setiap , menerima ? Dengan kata lain, apakah persimpangan bahasa reguler yang terkait tidak kosong? $w$ $i \in [k]$ $D_i$ $w$

Persimpangan Non-Kekosongan adalah masalah klasik lengkap PSPACE (Kozen 1977 - "Batas bawah untuk sistem bukti alami")

Relevansi: Ada pengurangan parameterisasi yang bagus dan sederhana dari persimpangan non-kekosongan untuk DFA satu arah ke non-kekosongan untuk DFA dua arah.

Pilih jumlah DFA untuk menjadi parameter untuk Persimpangan Non-Kekosongan dan jumlah belokan (beralih dari bergerak ke kiri atau kanan ke kiri) sebagai parameter untuk Non-Kekosongan untuk DFA dua arah.

Klaim: Persimpangan Non-Kekosongan untuk DFA's dapat direduksi menjadi Non-Kekosongan untuk -mengubah DFA dua arah. (Saya percaya bahwa ada pengurangan terkait untuk arah lain juga.) $k$ $(2k-2)$

$D_1$ $D_2$ $D_k$ $(2k-2)$

$D_1$ $D_2$ $D_3$ $D_k$

Jika mereka semua menerima, maka mereka melakukan evaluasi pada mereka semua dan kemudian menerima. Jika salah satu dari mereka menolak, maka itu berhenti (tidak selesai mengevaluasi semuanya) dan langsung menolak.

$k$ $n^k$

Tautan terkait: /cstheory/29142/deciding-emptiness-of-intersection-of- Regular-languages-in-subquadratic-time / 29166#29166

$(2k-2)$ $n^k$

Kesimpulan: Jika Anda menemukan algoritma yang lebih cepat untuk non-kekosongan untuk DFA dua arah, maka itu akan mengarah pada simulasi mesin non-deterministik yang lebih efisien. Beri tahu saya jika Anda memiliki pemikiran untuk dibagikan. Terima kasih telah mengajukan pertanyaan! :)

— Michael Wehar
sumber